Dados:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{1}{1+y^{2}} \\\ y(0)=1\end{array}\right.Estime y(1) usando o método da Série de Taylor de 3^{a} ordem e h=0,5.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = \frac{1}{1+y^2},\\\ y(0)=1, \end{cases}
e pede que a gente estime y(1) usando o método de Série de Taylor de 3ª ordem com passo h=0,5. Para isso, vamos precisar das derivadas y', y'' e y''' em função de y e, em cada nó, calcular
y_{n+1} \approx y_n + h\,y'_n + \frac{h^2}{2}\,y''_n + \frac{h^3}{6}\,y'''_n.

Passo 2

Derivamos as expressões genéricas em função de y. Primeiro definimos
f(y)=y'=\frac{1}{1+y^2}.
A derivada de f em relação a y é
f'(y)=-\frac{2y}{(1+y^2)^2},
logo, pela regra da cadeia,
y'' = f'(y)\,y' = -\frac{2y}{(1+y^2)^2}\cdot\frac{1}{1+y^2} = -\frac{2y}{(1+y^2)^3}.
Para y''', derivamos -2y/(1+y^2)^3 em relação a x, obtendo
y''' = \frac{10y^2 - 2}{(1+y^2)^5}.

Passo 3

Primeiro passo: de x_0=0 até x_1=0,5, com y_0=1.
Calculamos
y'(0)=\frac{1}{1+1^2}=\frac12=0{,}5,\quad y''(0)=-\frac{2\cdot1}{(1+1^2)^3}=-\frac{2}{8}=-0{,}25,
y'''(0)=\frac{10\cdot1^2-2}{(1+1^2)^5}=\frac{8}{32}=0{,}25.
Agora
y(0,5)\approx 1 + 0,5\cdot0,5 + \frac{0,5^2}{2}(-0,25) + \frac{0,5^3}{6}(0,25) =1 + 0,25 -0,03125 +0,0052083 \approx 1{,}2239583.

Passo 4

Segundo passo: de x_1=0,5 até x_2=1, com y_1\approx1{,}2239583.
Primeiro avaliamos as derivadas em y_1:
y'(0,5)=\frac{1}{1+(1{,}2239583)^2}\approx0{,}40045,
y''(0,5)=-\frac{2\cdot1{,}2239583}{\bigl(1+(1{,}2239583)^2\bigr)^3} \approx -0{,}15715,
y'''(0,5)=\frac{10\,(1{,}2239583)^2-2}{\bigl(1+(1{,}2239583)^2\bigr)^5} \approx 0{,}13362.
Então
y(1)\approx 1{,}2239583 +0,5\cdot0{,}40045 +\frac{0,5^2}{2}(-0{,}15715) +\frac{0,5^3}{6}(0{,}13362) \approx1{,}407322.

Resposta

y(1)\approx1,4073.

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