Um físico fez medições regulares na pressão de um gás e obteve:
tempo(s) pressão(atm)
5 2,5
8 6,8
13 11,9
Usando interpolação polinomial, estime a pressão do gás para \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}. (use duas casas decimais)

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar a pressão do gás no instante \mathrm{t}=10\\ \mathrm{s} usando interpolação polinomial, a partir das medições dadas.
Informações fornecidas (peguei esses dados da tabela do enunciado):
( t_0, p_0 ) = (5,\;2,5),\qquad ( t_1, p_1 ) = (8,\;6,8),\qquad ( t_2, p_2 ) = (13,\;11,9).
Queremos calcular o valor aproximado p(10) dado por um polinômio de grau \le 2 que passa por esses três pontos.

Passo 2

Método escolhido: interpolação por polinômios de Lagrange (fácil de aplicar com três pontos). Vou explicar a fórmula de forma didática.
Se temos três pontos (t_0,p_0), (t_1,p_1), (t_2,p_2), o polinômio interpolador de Lagrange de grau \le 2 é
P(t)=p_0\,\ell_0(t)+p_1\,\ell_1(t)+p_2\,\ell_2(t),
onde cada base \ell_i(t) é construída para valer 1 em t_i e 0 nos outros t_j ( j\neq i). As fórmulas são
\ell_0(t)=\frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)},\qquad \ell_1(t)=\frac{(t-t_0)(t-t_2)}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)},\qquad \ell_2(t)=\frac{(t-t_0)(t-t_1)}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)}.
Explicando as variáveis: t é o instante onde queremos avaliar a pressão (aqui t=10); cada t_i é um tempo conhecido; cada p_i é a pressão medida no tempo t_i. O objetivo é calcular \ell_i(10) e então P(10).

Passo 3

Calcular \ell_0(10). Usando t_0=5, t_1=8, t_2=13,
\ell_0(10)=\frac{(10-8)(10-13)}{(5-8)(5-13)}.
Agora as contas passo a passo:
(10-8)=2,\qquad (10-13)=-3,\qquad\text{produto }=2\cdot(-3)=-6.
(5-8)=-3,\qquad (5-13)=-8,\qquad\text{produto }=(-3)\cdot(-8)=24.
Portanto
\ell_0(10)=\frac{-6}{24}=-0,25.

Passo 4

Calcular \ell_1(10). Usando t_1=8, t_0=5, t_2=13,
\ell_1(10)=\frac{(10-5)(10-13)}{(8-5)(8-13)}.
Passo a passo:
(10-5)=5,\qquad (10-13)=-3,\qquad\text{produto }=5\cdot(-3)=-15.
(8-5)=3,\qquad (8-13)=-5,\qquad\text{produto }=3\cdot(-5)=-15.
Logo
\ell_1(10)=\frac{-15}{-15}=1.

Passo 5

Calcular \ell_2(10). Usando t_2=13, t_0=5, t_1=8,
\ell_2(10)=\frac{(10-5)(10-8)}{(13-5)(13-8)}.
Passo a passo:
(10-5)=5,\qquad (10-8)=2,\qquad\text{produto }=5\cdot2=10.
(13-5)=8,\qquad (13-8)=5,\qquad\text{produto }=8\cdot5=40.
Portanto
\ell_2(10)=\frac{10}{40}=0,25.

Passo 6

Verificação rápida (útil para evitar erros): as bases deveriam somar 1 em qualquer t se p_0=p_1=p_2=1. Aqui
\ell_0(10)+\ell_1(10)+\ell_2(10)=-0,25+1+0,25=1,
o que confirma consistência dos cálculos.

Passo 7

Agora avaliamos P(10) usando os valores p_0=2,5, p_1=6,8, p_2=11,9:
P(10)=2,5\cdot\ell_0(10)+6,8\cdot\ell_1(10)+11,9\cdot\ell_2(10).
Substituindo os \ell_i(10):
P(10)=2,5\cdot(-0,25)+6,8\cdot1+11,9\cdot0,25.
Calculemos termo a termo:
2,5\cdot(-0,25)=-0,625,
6,8\cdot1=6,8,
11,9\cdot0,25=2,975.
Somando:
P(10)=-0,625+6,8+2,975.
Primeiro -0,625+6,8=6,175. Depois 6,175+2,975=9,15.

Passo 8

Arredondando para duas casas decimais (já está com duas casas): o valor estimado da pressão no instante \mathrm{t}=10\\ \mathrm{s} é \,9,15\\ \mathrm{atm}.

Resposta

\,9,15\\ \mathrm{atm}

Exercícios relacionados