Um físico fez medições regulares na pressão de um gás e obteve:
tempo(s)
pressão(atm)
5
2,5
8
6,8
13
11,9
Usando interpolação polinomial, estime a pressão do gás para
. (use duas casas decimais)
| tempo(s) | pressão(atm) |
| 5 | 2,5 |
| 8 | 6,8 |
| 13 | 11,9 |
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar a pressão do gás no instante
usando interpolação polinomial, a partir das medições dadas.
Informações fornecidas (peguei esses dados da tabela do enunciado):
Queremos calcular o valor aproximado
dado por um polinômio de grau
que passa por esses três pontos.
Passo 2
Método escolhido: interpolação por polinômios de Lagrange (fácil de aplicar com três pontos). Vou explicar a fórmula de forma didática.
Se temos três pontos
,
,
, o polinômio interpolador de Lagrange de grau
é
onde cada base
é construída para valer
em
e
nos outros
(
). As fórmulas são
Explicando as variáveis:
é o instante onde queremos avaliar a pressão (aqui
); cada
é um tempo conhecido; cada
é a pressão medida no tempo
. O objetivo é calcular
e então
.
Passo 3
Calcular
. Usando
,
,
,
Agora as contas passo a passo:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Usando
,
,
,
Passo a passo:
Logo
Passo 5
Calcular
. Usando
,
,
,
Passo a passo:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (útil para evitar erros): as bases deveriam somar
em qualquer
se
. Aqui
o que confirma consistência dos cálculos.
Passo 7
Agora avaliamos
usando os valores
,
,
:
Substituindo os
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Primeiro
. Depois
.
Passo 8
Arredondando para duas casas decimais (já está com duas casas): o valor estimado da pressão no instante
é
.