Utilizando o método da Decomposição LU de Crout ou Doolittle, mostre como fica a Matriz L (triangular Inferior) a Matriz U (triangular superior), a solução y (Ly =b ) e a solução x(U x=y). Coloque os resultados na caixa de texto.
Dada a equaçāo polinomial: \mathrm{P}_{3}(\mathrm{X})=\mathrm{X}^{3}+2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-2 e utilizando o método de Birge-Vieta estimativa inicial \mathrm{x} 0=2 e precisāo de 10^{-7}, temos como resultado para o número de iteraçōes ( k ), as sequencias de b e c , o valor da raiz ( x ) e precisāo ® os seguintes valores, respectivamente, em dupla precisāo:
Dado o polinômio: P_{5}(x)=8 x^{5}-2 x^{3}-13 x^{2}+5 x-4. Avaliando as possibilidades da existência de raízes nulas, positivas, negativas e complexas, aplicando a regra de sinais de Descartes, temos: pela regra: 3 positivas ou 1 positiva / 2 negativas ou nenhuma
positivas
negativas
nulas
complexas
3
2
0
0
3
0
0
2
1
2
0
2
1
0
0
4
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado apresenta três tarefas distintas e dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações fornecidas (sem resolver nada ainda).
O enunciado informa também que \det(A)=35 e que o número de condição vale 2{,}6458.
Primeira tarefa: usar decomposição LU (Crout ou Doolittle) para:
mostrar a matriz triangular inferior L e a triangular superior U,
resolver Ly=b (encontrar y),
resolver Ux=y (encontrar x).
Segunda tarefa: há um caso sobre o polinômio de grau 3
P_{3}(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2,
usando Birge–Vieta com x_0=2 e precisão 10^{-7}. Foi fornecido um resultado (iteração k=6, sequências b e c, raiz x=1, precisão R=1{,}43303102717596\mathrm{e}{-}9). É preciso decidir se a afirmação apresentada é Verdadeira ou Falsa.
Terceira tarefa: para
P_{5}(x)=8x^{5}-2x^{3}-13x^{2}+5x-4,
aplicar a regra de Descartes para contar possíveis raízes positivas/negativas/nulas/complexas e verificar se as combinações dadas são possíveis. Escolher Verdadeiro ou Falso.]
Passo 2
Escolha do método LU e explicação rápida (didática, passo a passo).
Como o enunciado permite Crout ou Doolittle, escolho o método de Doolittle: ele constrói U com a primeira linha igual à primeira linha de A transformada e usa L com 1s na diagonal principal. É simples e muito usado em provas.
Ideia do método Doolittle para matriz 3\times3: escrevemos A=LU com
Portanto os valores finais de x foram obtidos (ver
Passo 11
Agora passo para a verificação da afirmação sobre Birge–Vieta para
P_{3}(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.
Primeiro, uma observação útil: fatorando o polinômio podemos verificar raízes exatas. Tentar fatorar por teste de raízes racionais (divisores de termo independente \pm1,\pm2). Testando x=1:
P_{3}(1)=1+2-1-2=0,
logo x=1 é raiz exata. Fazendo divisão sintética ou fatorando, obtemos
P_{3}(x)=(x-1)(x^{2}+3x+2)=(x-1)(x+1)(x+2).
As raízes reais são 1,-1,-2.
Passo 12
Explicando o método de Birge–Vieta (aula curta, pra prova):
Birge–Vieta é uma versão prática de Newton aplicada a polinômios usando divisão sintética repetida.
Para procurar uma raiz \alpha do polinômio a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0, escolhe-se x_0 e, em cada iteração, faz-se divisão sintética com x_k para obter coeficientes b_i (os quais representam o polinômio quociente) e coeficientes c_i (derivada avaliada no processo). A iteração de Birge–Vieta é equivalente a uma iteração de Newton para o polinômio e costuma convergir rapidamente quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz simples.
Como x=1 é raiz simples de P_3, qualquer método razoável com x_0=2 tende a convergir rapidamente para 1.
Passo 13
Verificando a afirmação dada: o enunciado diz que, usando Birge–Vieta com x_0=2 e precisão 10^{-7}, obteve-se k=6, sequências b e c (números indicados), \;x=1 e R=1{,}43303102717596\mathrm{e}{-}9. Como acabamos de ver, x=1 é exatamente uma raiz de P_3. Em aritmética de dupla precisão é perfeitamente plausível que, após algumas iterações (aqui declarado k=6), a aproximação numérica seja 1 com um erro residual na ordem de 10^{-9}. Logo a afirmação apresentada é compatível com os fatos (a raiz real é 1 e a precisão residual numa execução numérica pode ser aproximadamente 1{,}433\times 10^{-9}). Concluo: a afirmação é Verdadeira.
Passo 14
Agora a verificação da aplicação da regra de Descartes ao polinômio
P_{5}(x)=8x^{5}-2x^{3}-13x^{2}+5x-4.
Vou explicar a regra e aplicá-la passo a passo.
Regra de Descartes (versão curta, para prova): o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de variações de sinal entre coeficientes de P(x), ou é menor que esse número por um inteiro par. Para raízes negativas, aplicamos a regra a P(-x) (contamos variações de sinal em P(-x)); o número de raízes nulas é dado pela multiplicidade de x como fator (ou seja, se o termo constante é zero então x=0 é raiz). Coeficientes zero são simplesmente pulados ao contar variações de sinal: só importam trocas de sinal efetivas.
Passo 15
Aplicando para P_{5}(x). Escrever a sequência de coeficientes (incluindo coeficiente nulo de x^4):
[8,\;0,\;-2,\;-13,\;5,\;-4].
Contamos variações de sinal entre termos não nulos:
De 8 a -2: troca de sinal (1),
De -2 a -13: sem troca (mantém negativo),
De -13 a 5: troca (2),
De 5 a -4: troca (3).
Logo número de raízes positivas possíveis = 3 ou 1 (reduzindo por múltiplos de 2).
Logo número de raízes negativas possíveis = 2 ou 0.
Passo 17
Quanto a raízes nulas: o termo independente é -4\neq 0, então não há raiz x=0.
O enunciado listou as seguintes combinações possíveis (positivas, negativas, nulas, complexas):
(3, 2, 0, 0)
(3, 0, 0, 2)
(1, 2, 0, 2)
(1, 0, 0, 4)
Estas quatro combinações correspondem exatamente às possibilidades permitidas pela regra de Descartes e pela relação que o total de raízes (contando multiplicidade) na extensão dos complexos deve ser o grau 5. Portanto a afirmação é correta. Concluo: Verdadeiro.