Dado o seguinte sistema de equações lineares com determinante =35 e Número de Condição = 2.6458:
\begin{aligned} & x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=27 \\\ & 3 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}=-9 \\\ & 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1 \end{aligned}
Utilizando o método da Decomposição LU de Crout ou Doolittle, mostre como fica a Matriz L (triangular Inferior) a Matriz U (triangular superior), a solução y (Ly =b ) e a solução x(U x=y). Coloque os resultados na caixa de texto.
Dada a equaçāo polinomial: \mathrm{P}_{3}(\mathrm{X})=\mathrm{X}^{3}+2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-2 e utilizando o método de Birge-Vieta estimativa inicial \mathrm{x} 0=2 e precisāo de 10^{-7}, temos como resultado para o número de iteraçōes ( k ), as sequencias de b e c , o valor da raiz ( x ) e precisāo ® os seguintes valores, respectivamente, em dupla precisāo:
k = 6
b =
1.00000000000000 \mathrm{e}+0003.00000000023884 \mathrm{e}+000
2.00000000095535 \mathrm{e}+0001.43303102717596 \mathrm{e}-009
\mathrm{c}=
1.000000000000004 .000000000477686 .00000000238838
\mathrm{x}=1
\mathrm{R}=1.43303102717596 \mathrm{e}-009
Escolha uma opção:
  • Verdadeiro
  • Falso
Dado o polinômio: P_{5}(x)=8 x^{5}-2 x^{3}-13 x^{2}+5 x-4. Avaliando as possibilidades da existência de raízes nulas, positivas, negativas e complexas, aplicando a regra de sinais de Descartes, temos: pela regra: 3 positivas ou 1 positiva / 2 negativas ou nenhuma
positivas negativas nulas complexas
3 2 0 0
3 0 0 2
1 2 0 2
1 0 0 4
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado apresenta três tarefas distintas e dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações fornecidas (sem resolver nada ainda).
  • Matriz do sistema e vetor termo independente:
\begin{aligned} &x_{1}+x_{2}+2x_{3}=27,\\\ &3x_{1}-5x_{2}+x_{3}=-9,\\\ &2x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1. \end{aligned}
Isto corresponde à matriz A e vetor b:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\[4pt]3 & -5 & 1\\[4pt]2 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-9\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O enunciado informa também que \det(A)=35 e que o número de condição vale 2{,}6458.
  • Primeira tarefa: usar decomposição LU (Crout ou Doolittle) para:
    • mostrar a matriz triangular inferior L e a triangular superior U,
    • resolver Ly=b (encontrar y),
    • resolver Ux=y (encontrar x).
  • Segunda tarefa: há um caso sobre o polinômio de grau 3
    P_{3}(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2,
    usando Birge–Vieta com x_0=2 e precisão 10^{-7}. Foi fornecido um resultado (iteração k=6, sequências b e c, raiz x=1, precisão R=1{,}43303102717596\mathrm{e}{-}9). É preciso decidir se a afirmação apresentada é Verdadeira ou Falsa.
  • Terceira tarefa: para
    P_{5}(x)=8x^{5}-2x^{3}-13x^{2}+5x-4,
    aplicar a regra de Descartes para contar possíveis raízes positivas/negativas/nulas/complexas e verificar se as combinações dadas são possíveis. Escolher Verdadeiro ou Falso.]

Passo 2

Escolha do método LU e explicação rápida (didática, passo a passo).
  • Como o enunciado permite Crout ou Doolittle, escolho o método de Doolittle: ele constrói U com a primeira linha igual à primeira linha de A transformada e usa L com 1s na diagonal principal. É simples e muito usado em provas.
  • Ideia do método Doolittle para matriz 3\times3: escrevemos A=LU com
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33}\end{pmatrix}.
As fórmulas básicas (obtidas igualando A=LU elemento a elemento) são:
\begin{aligned} &u_{11}=a_{11},\quad u_{12}=a_{12},\quad u_{13}=a_{13},\\\ &\ell_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}},\quad \ell_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}},\\\ &u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12},\quad u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13},\\\ &\ell_{32}=\dfrac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}},\\\ &u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}. \end{aligned}
Vou aplicar essas fórmulas com os coeficientes de A.]

Passo 3

Aplicando as fórmulas de Doolittle com A=\begin{pmatrix}1&1&2\\[4pt]3&-5&1\\[4pt]2&1&-1\end{pmatrix}.
  • Primeiro bloco (primeira linha/coluna):
u_{11}=a_{11}=1,\qquad u_{12}=a_{12}=1,\qquad u_{13}=a_{13}=2.
\ell_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{3}{1}=3,\qquad \ell_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{2}{1}=2.]

Passo 4

Calcular u_{22},u_{23} e \ell_{32}:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12} = -5 - 3\cdot 1 = -8.
u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13} = 1 - 3\cdot 2 = 1-6 = -5.
\ell_{32}=\dfrac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} = \dfrac{1 - 2\cdot 1}{-8} = \dfrac{-1}{-8} = \dfrac{1}{8}.

Passo 5

Calcular u_{33}:
u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} = -1 - 2\cdot 2 - \frac{1}{8}\cdot(-5).
Fazendo as contas:
-1 - 4 + \frac{5}{8} = -5 + \frac{5}{8} = -\frac{40}{8} + \frac{5}{8} = -\frac{35}{8}.
Portanto u_{33}=-\dfrac{35}{8}.

Passo 6

Escrevendo as matrizes L e U encontradas (estas são os resultados finais da fatoração LU pelo método de Doolittle):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[6pt] 3 & 1 & 0\\[6pt] 2 & \dfrac{1}{8} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[6pt] 0 & -8 & -5\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{35}{8} \end{pmatrix}.
Como verificação rápida, o determinante de A é produto das diagonais de U (já que \det(L)=1 aqui), ou seja:
\det(A)=1\cdot(-8)\cdot\left(-\dfrac{35}{8}\right)=35,
que confere com o dado do enunciado.]

Passo 7

Resolver Ly=b por substituição direta (forward substitution). Escrevemos L y=b componente a componente:
\begin{aligned} &1\cdot y_{1}=27,\\[4pt] &3\cdot y_{1}+1\cdot y_{2}=-9,\\[4pt] &2\cdot y_{1}+\dfrac{1}{8}y_{2}+1\cdot y_{3}=-1. \end{aligned}
Agora calculamos passo a passo:
y_{1}=27.
3\cdot 27 + y_{2} = -9 \quad\Rightarrow\quad 81 + y_{2}=-9 \quad\Rightarrow\quad y_{2}=-90.
2\cdot 27 + \frac{1}{8}(-90) + y_{3} = -1.
Calcular 2\cdot 27 =54 e \dfrac{1}{8}(-90)=-\dfrac{90}{8}=-11{,}25. Então
54 -11{,}25 + y_{3} = -1 \quad\Rightarrow\quad 42{,}75 + y_{3} = -1,
y_{3} = -1 - 42{,}75 = -43{,}75 = -\dfrac{175}{4}.]

Passo 8

Resolver U x = y por back-substitution. Sistema (escrito por linhas):
\begin{aligned} &1\cdot x_{1} + 1\cdot x_{2} + 2\cdot x_{3} = y_{1},\\[4pt] &-8\cdot x_{2} -5\cdot x_{3} = y_{2},\\[4pt] &-\dfrac{35}{8}\cdot x_{3} = y_{3}. \end{aligned}
Começamos pela última equação para encontrar x_{3}:
-\dfrac{35}{8}\,x_{3} = -\dfrac{175}{4}.
Dividindo ambos os lados por -\dfrac{35}{8}:
x_{3} = \dfrac{-\dfrac{175}{4}}{-\dfrac{35}{8}} = \left(-\dfrac{175}{4}\right)\cdot\left(-\dfrac{8}{35}\right).
Simplificando: 175/35=5, e os sinais negativos cancelam, dá
x_{3}=5\cdot \dfrac{8}{4}=5\cdot 2 = 10.]

Passo 9

Agora usar a segunda equação para x_{2}:
-8x_{2} -5\cdot 10 = y_{2} = -90.
Logo
-8x_{2} -50 = -90 \quad\Rightarrow\quad -8x_{2} = -40 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=5.

Passo 10

Finalmente usar a primeira equação para x_{1}:
x_{1}+x_{2}+2x_{3} = y_{1}=27.
Substituindo x_{2}=5 e x_{3}=10:
x_{1}+5+20=27 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2.
Portanto os valores finais de x foram obtidos (ver

Passo 11

Agora passo para a verificação da afirmação sobre Birge–Vieta para
P_{3}(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.
Primeiro, uma observação útil: fatorando o polinômio podemos verificar raízes exatas. Tentar fatorar por teste de raízes racionais (divisores de termo independente \pm1,\pm2). Testando x=1:
P_{3}(1)=1+2-1-2=0,
logo x=1 é raiz exata. Fazendo divisão sintética ou fatorando, obtemos
P_{3}(x)=(x-1)(x^{2}+3x+2)=(x-1)(x+1)(x+2).
As raízes reais são 1,-1,-2.

Passo 12

Explicando o método de Birge–Vieta (aula curta, pra prova):
  • Birge–Vieta é uma versão prática de Newton aplicada a polinômios usando divisão sintética repetida.
  • Para procurar uma raiz \alpha do polinômio a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0, escolhe-se x_0 e, em cada iteração, faz-se divisão sintética com x_k para obter coeficientes b_i (os quais representam o polinômio quociente) e coeficientes c_i (derivada avaliada no processo). A iteração de Birge–Vieta é equivalente a uma iteração de Newton para o polinômio e costuma convergir rapidamente quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz simples.
  • Como x=1 é raiz simples de P_3, qualquer método razoável com x_0=2 tende a convergir rapidamente para 1.

Passo 13

Verificando a afirmação dada: o enunciado diz que, usando Birge–Vieta com x_0=2 e precisão 10^{-7}, obteve-se k=6, sequências b e c (números indicados), \;x=1 e R=1{,}43303102717596\mathrm{e}{-}9. Como acabamos de ver, x=1 é exatamente uma raiz de P_3. Em aritmética de dupla precisão é perfeitamente plausível que, após algumas iterações (aqui declarado k=6), a aproximação numérica seja 1 com um erro residual na ordem de 10^{-9}. Logo a afirmação apresentada é compatível com os fatos (a raiz real é 1 e a precisão residual numa execução numérica pode ser aproximadamente 1{,}433\times 10^{-9}). Concluo: a afirmação é Verdadeira.

Passo 14

Agora a verificação da aplicação da regra de Descartes ao polinômio
P_{5}(x)=8x^{5}-2x^{3}-13x^{2}+5x-4.
Vou explicar a regra e aplicá-la passo a passo.
  • Regra de Descartes (versão curta, para prova): o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de variações de sinal entre coeficientes de P(x), ou é menor que esse número por um inteiro par. Para raízes negativas, aplicamos a regra a P(-x) (contamos variações de sinal em P(-x)); o número de raízes nulas é dado pela multiplicidade de x como fator (ou seja, se o termo constante é zero então x=0 é raiz). Coeficientes zero são simplesmente pulados ao contar variações de sinal: só importam trocas de sinal efetivas.

Passo 15

Aplicando para P_{5}(x). Escrever a sequência de coeficientes (incluindo coeficiente nulo de x^4):
[8,\;0,\;-2,\;-13,\;5,\;-4].
Contamos variações de sinal entre termos não nulos:
  • De 8 a -2: troca de sinal (1),
  • De -2 a -13: sem troca (mantém negativo),
  • De -13 a 5: troca (2),
  • De 5 a -4: troca (3).
Logo número de raízes positivas possíveis = 3 ou 1 (reduzindo por múltiplos de 2).

Passo 16

Agora P(-x). Calcular os coeficientes de P(-x):
P(-x)=8(-x)^5 -2(-x)^3 -13(-x)^2 +5(-x) -4 = -8x^5 + 2x^3 -13x^2 -5x -4.
Sequência (incluindo coeficiente nulo de x^4):
[-8,\;0,\;2,\;-13,\;-5,\;-4].
Contando variações de sinal (pulando zeros):
  • De -8 a 2: troca (1),
  • De 2 a -13: troca (2),
  • De -13 a -5: sem troca,
  • De -5 a -4: sem troca.
Logo número de raízes negativas possíveis = 2 ou 0.

Passo 17

Quanto a raízes nulas: o termo independente é -4\neq 0, então não há raiz x=0.
O enunciado listou as seguintes combinações possíveis (positivas, negativas, nulas, complexas):
  • (3, 2, 0, 0)
  • (3, 0, 0, 2)
  • (1, 2, 0, 2)
  • (1, 0, 0, 4)
Estas quatro combinações correspondem exatamente às possibilidades permitidas pela regra de Descartes e pela relação que o total de raízes (contando multiplicidade) na extensão dos complexos deve ser o grau 5. Portanto a afirmação é correta. Concluo: Verdadeiro.

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[6pt] 3 & 1 & 0\\[6pt] 2 & \dfrac{1}{8} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[6pt] 0 & -8 & -5\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{35}{8} \end{pmatrix}
y=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-90\\[4pt]-\dfrac{175}{4}\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]10\end{pmatrix}
Verdadeiro
Verdadeiro]

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