Dado o sistema abaixo, resolva por:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 5 \\\\ 0 \end{array}\right]
Método de Gauss (Escalonamento)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas e pede que seja resolvido pelo método de Gauss (escalonamento). As informações fornecidas são:
  • Sistema escrito em forma matricial:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 5 \\\\ 0 \end{array}\right].
  • Pergunta: encontrar os valores de x, y e z usando o método de escalonamento (Gauss).
Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Primeiro passo prático do escalonamento: escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta a matriz dos coeficientes com o vetor coluna dos termos independentes, assim:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 & 5 \\\\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right]
Explicação rápida sobre operações permitidas (elementares):
  • Trocar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (escalonada), onde abaixo da diagonal principal haja zeros, para então resolver por substituição regressiva.

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1.
Operações:
  • L_2 \leftarrow L_2 - L_1
  • L_3 \leftarrow L_3 - L_1
Cálculo linha a linha:
  • Para L_2: [1,2,1 \mid 5] - [1,1,1 \mid 4] = [0,1,0 \mid 1].
  • Para L_3: [1,-1,-1 \mid 0] - [1,1,1 \mid 4] = [0,-2,-2 \mid -4].
A matriz aumentada fica então:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -2 & -2 & -4 \end{array}\right]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (entrada na posição (2,2), que vale 1) para zerar a entrada abaixo dele na coluna 2.
Operação:
  • L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2
Cálculo:
  • Para L_3: [0,-2,-2 \mid -4] + 2\cdot[0,1,0 \mid 1] = [0,0,-2 \mid -2].
A matriz torna-se:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{array}\right]
Agora já temos uma forma triangular superior: elementos abaixo da diagonal principal são zeros.

Passo 5

Normalizar (ou tornar mais simples) o pivô da terceira linha. A posição (3,3) vale -2; é conveniente dividi-la por -2 para obter pivô 1.
Operação:
  • L_3 \leftarrow \dfrac{1}{-2}L_3
Cálculo:
  • [0,0,-2 \mid -2]\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = [0,0,1 \mid 1].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Ter o pivô igual a 1 facilita a fase de eliminação acima e a leitura direta das incógnitas.

Passo 6

Agora aplicamos substituição regressiva (ou continuamos escalonando para a forma reduzida) para eliminar os coeficientes acima do pivô z (coluna 3) e do pivô y (coluna 2), obtendo a matriz na forma reduzida por linhas (identidade à esquerda).
Primeiro, zerar a entrada na coluna 3 da primeira linha:
  • L_1 \leftarrow L_1 - L_3.
    Cálculo: [1,1,1 \mid 4] - [0,0,1 \mid 1] = [1,1,0 \mid 3].
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Em seguida, zerar a entrada na coluna 2 da primeira linha usando a segunda linha:
  • L_1 \leftarrow L_1 - L_2.
    Cálculo: [1,1,0 \mid 3] - [0,1,0 \mid 1] = [1,0,0 \mid 2].
A matriz final na forma reduzida é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 7

Interpretação da matriz final: cada linha dá diretamente uma incógnita.
  • A primeira linha [1\\\ 0\\\ 0 \mid 2] significa \,x = 2.
  • A segunda linha [0\\\ 1\\\ 0 \mid 1] significa \,y = 1.
  • A terceira linha [0\\\ 0\\\ 1 \mid 1] significa \,z = 1.
Também é possível verificar substituindo na primeira equação original: x+y+z = 2+1+1 = 4 (confere); na segunda: x+2y+z = 2+2\cdot1+1 = 5 (confere); na terceira: x - y - z = 2-1-1 = 0 (confere). Assim a solução é válida.

Resposta

x=2
y=1
z=1

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