O pedido é: resolver o sistema usando decomposição LU (ou seja, escrever A=L\,U com L triangular inferior e U triangular superior, e usar isso para encontrar \mathbf{x}).]
Passo 2
O que é LU na prática e qual método vou usar (muito curto e prático). A decomposição LU pretende escrever
A=L\,U,
onde L é triangular inferior com 1s na diagonal (método de Doolittle) e U é triangular superior. Na prática fazemos eliminação gaussiana e guardamos os multiplicadores l_{ij} em L. As fórmulas úteis (para montar L e U) são:
Explicando de forma prática: subtrai-se l_{i1} vezes a linha 1 da linha i para zerar abaixo de u_{11} — esses l_{i1} viram entradas de L.
Passo 4
Aplicar as eliminações da coluna 1 para obter as entradas efetivas da segunda linha da matriz reduzida. Calcula-se as entradas “restantes” da linha 2 e linha 3:
linha 2 modificada:
Pequena verificação mental: L\,U retorna A (se quiser checar multiplique as matrizes). O determinante não nulo (produto das diagonais de U é -2) confirma que a decomposição existe sem pivot.]
Passo 7
Agora usamos A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A=L\,U. Definimos \mathbf{y}=U\mathbf{x}. Primeiro resolvemos
L\mathbf{y}=\mathbf{b}
por substituição progressiva (forward substitution). A regra geral para L\mathbf{y}=\mathbf{b} com L triangular inferior é