Dado o sistema de equações lineares:
ccc 3 X1+1.5 X2+4.75 X3 & =8 4.01 X1+X2+3 X3 & = & 7 X1+0.5 X2+-0.05 X3 & = & -1
Resolva o sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente resolva um sistema 3×3
3X1 + 1.5X2 + 4.75X3 = 8, 4.01X1 + X2 + 3X3 = 7, X1 + 0.5X2 - 0.05X3 = -1
Usamos o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Isso envolve:
  1. escolher em cada coluna o maior elemento (em valor absoluto) como “pivot”;
  2. trocar linhas se for preciso;
  3. usar multiplicadores para zerar abaixo do pivot;
  4. ao final, fazer a retro­substituição.

Passo 2

Coluna 1: a gente olha |3|, |4.01| e |1| → o maior é 4.01 (linha 2). Então trocamos R1↔R2. O sistema vira
rcl 4.01X1 + 1X2 + 3X3 &=& 7, 3X1 + 1.5X2 + 4.75X3 &=& 8, 1X1 + 0.5X2 - 0.05X3 &=& -1
Agora calculamos os multiplicadores
m21 = 34.01approx0.7481, m31 = 14.01approx0.2494
Eliminamos:
R2 R2 - m21,R1, R3 R3 - m31,R1
Fica
rcl 4.01X1 + 1X2 + 3X3 &=& 7, 0X1 + 0.7519X2 + 2.5056X3 &=& 2.7631, 0X1 + 0.2506X2 - 0.7982X3 &=& -2.7458

Passo 3

Coluna 2: entre |0.7519| (linha 2) e |0.2506| (linha 3), o maior é 0.7519 → sem troca.
Multiplicador
m32 = 0.25060.7519approx0.3333
Eliminamos em R3:
R3 R3 - m32,R2,
de modo que a matriz fica triangular superior:
rcl 4.01X1 + X2 + 3X3 &=& 7, 0X1 + 0.7519X2 + 2.5056X3 &=& 2.7631, 0X1 + 0X2 - 1.6334X3 &=& -3.6668

Passo 4

Agora é só retro­substituir de baixo pra cima:
  1. Da última linha:
-1.6334,X3 = -3.6668 Longrightarrow X3 = -3.6668-1.6334approx 2.2465
  1. Da segunda linha:
0.7519,X2 + 2.5056,(2.2465) = 2.7631 Longrightarrow X2 = 2.7631 - 2.5056times2.24650.7519approx -3.8126
  1. Da primeira linha:
4.01,X1 + 1,(-3.8126) + 3,(2.2465) = 7 Longrightarrow X1 = 7 + 3.8126 - 3times2.24654.01approx 1.0154

Resposta

X1approx1.0154, X2approx -3.8126, X3approx2.2465

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