Dado sistema de equações lineares.
Faça troca de linhas e determine um intervalo de valores positivos para l x3=1 2 x1+2 x2=0 t x1+2 x2=0 de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito;

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema de três equações lineares em x3=1, 2x1+2x2=0, t,x1+2x2=0 :
betai ;=;1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|betaj ;+;sumj=i+1^n|aij|r)
O objetivo é usar o critério de Sassenfeld (que garante convergência de métodos iterativos tipo Gauss–Seidel) pra achar pra quais valores positivos de ele vale. Pra isso a gente vai precisar:
  1. Trocar linhas pra que a matriz de coeficientes tenha pivôs não nulos na diagonal.
  2. Calcular os coeficientes do critério de Sassenfeld:
  1. Exigir .

Passo 2

A gente precisa que cada linha tenha na posição um coeficiente não zero. Como a equação só tem coeficiente na coluna 3, é melhor deixá-la embaixo (linha 3). E as outras duas a gente põe nas linhas 1 e 2. Então, trocamos a linha 1 com a 3 e ficamos com:
linha 1: ,
linha 2: ,
linha 3: .

Passo 3

Depois dessa troca, a matriz de coeficientes A= t & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 , b=001 e o vetor-termo são:
Note que a diagonal principal ficou , todos não nulos (desde que ).

Passo 4

Agora, calculamos as beta1 = 1|a11|sumjneq1|a1j| = 1|t|l(|a12|+|a13|r) = 1t(2+0) = 2t na ordem 1, 2, 3:
Para beta2 = 1|a22|l(|a21|beta1 + |a23|r) = 12l(2cdotbeta1 + 0r) = 12,l(2cdot2tr) = 2t :
beta3 = 1|a33|l(|a31|beta1 + |a32|beta2r) = 1cdot(0cdotbeta1 + 0cdotbeta2) = 0
Para :
Para :
Então deu e .

Passo 5

O critério de Sassenfeld manda ter
maxbeta1,beta2,beta3<1 ;Longrightarrow; 2t<1
Isso dá simplesmente t>2 . E como queremos , o intervalo final é

Resposta

O critério de Sassenfeld é satisfeito para todo .

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