Dado sistema de equações lineares.
Tome l x3=1 2 x1+2 x2=0 t x1+2 x2=0 , faça trocas de linhas usando o método de Gauss Seidel com t=4 e x^0=(0,1 ; 0,1 ; 0,1)^t.

Passo 1

Beleza, aqui o exercício é um sistema de equações lineares onde a gente vai usar Gauss–Seidel (um método iterativo) e ainda fazer umas “trocas de linha” pra deixar ele com dominância diagonal (isso ajuda a convergir).
Conteúdo:
  • Sistema linear Ax=b
  • Critério de dominância diagonal (para garantir convergência do Gauss–Seidel)
  • Fórmulas iterativas de Gauss–Seidel
  • Critério de parada com varepsilon=0,01

Passo 2

Primeiro vamos reordenar (trocar linha 2 com linha 3) para ter:
Antes (com t=4):
x3 = 1, 2x1 + 2x2 = 0, 4x1 + 2x2 = 0
Depois da troca (linha 2 ←→ linha 3):
x3 = 1, 4x1 + 2x2 = 0, 2x1 + 2x2 = 0
Agora a equação que isola x1 tem coeficiente 4 na diagonal (maior que o resto) e a que isola x2 tem coeficiente 2 (igual ao resto, mas ok).

Passo 3

Isolando cada incógnita para montar as fórmulas de Gauss–Seidel (sempre usando valores já atualizados assim que surgem):
  1. Da equação 4x1 + 2x2 = 0:
x1 = -24,x2 = -tfrac12,x2
  1. Da equação 2x1 + 2x2 = 0:
x2 = -22,x1 = -,x1
  1. Da equação x3 = 1:
x3 = 1(sempre fixe)
Logo, as fórmulas iterativas são:
boxed x1^(k+1) &= -tfrac12,x2^(k), x2^(k+1) &= -,x1^(k+1), x3^(k+1) &= 1

Passo 4

Critério de parada: a gente vê a maior variação entre iterações consecutivas e para quando
maxil|xi^(k+1) - xi^(k)r| < 0,01
Chute inicial: x^(0)=(0,1,,0,1,,0,1)^T.

Passo 5

Vamos iterar até parar:
k=0:
x^(0) = (0,1,;0,1,;0,1)
k=1:
x1^(1) &= -tfrac12cdot0,1 = -0,05, x2^(1) &= -(-0,05) = 0,05, x3^(1) &= 1
Diferenças: |-0,05-0,1|=0,15, |0,05-0,1|=0,05, |1-0,1|=0,9.
k=2:
x1^(2) = -tfrac12cdot0,05 = -0,025, x2^(2) = 0,025, x3^(2)=1
Diferenças máximas: 0,025.
k=3:
x1^(3) = -0,0125, x2^(3) = 0,0125, x3^(3) = 1
Diferença máx.: 0,0125.
k=4:
x1^(4) = -0,00625, x2^(4) = 0,00625, x3^(4) = 1
Diferença máx.: |-0,00625-(-0,0125)|=0,00625<0,01.
Aí parámos.

Resposta

A solução aproximada pelo Gauss–Seidel com varepsilon=0,01 é
boxedxapprox (-0,00625,;0,00625,;1)^T

Exercícios relacionados