Dado o sistema de equações lineares:
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Resolva o sistema utilizando o Gauss Seidel.
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Resolva o sistema utilizando o Gauss Seidel.
Passo 1
Beleza, vamos lá!
Enunciado: temos o sistema
Enunciado: temos o sistema
com chute inicial
.
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel para sistemas lineares.
O que vamos precisar: a fórmula de atualização de Gauss–Seidel e algumas iterações até ficar “perto” da solução.
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel para sistemas lineares.
O que vamos precisar: a fórmula de atualização de Gauss–Seidel e algumas iterações até ficar “perto” da solução.
Passo 2
Teoria do Gauss–Seidel em duas equações: a ideia é isolar cada variável em sua própria equação e, a cada iteração
, usar imediatamente o valor mais recente de
para calcular
.
Então:
Então:
Explicando:
- Na fórmula de
, a gente pega a 1ª equação e resolve para . - Para
, pega a 2ª equação e já coloca o valor novo de .
Isso acelera a convergência em relação ao método de Jacobi, pois usa logo a última “estimativa” disponível.
Passo 3
1ª iteração (
), começando de
,
:
Passo 4
2ª iteração (
):
Passo 5
3ª iteração (
):
Já deu para ver que estamos bem próximos de
.
Resposta
Aproximação após 3 iterações de Gauss–Seidel:
ou seja, essencialmente
e
.