Dado o sistema de equações lineares:
4 X1+X2=9
2 X1+6 X2=10
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Resolva o sistema utilizando o Gauss Seidel.

Passo 1

Beleza, vamos lá!
Enunciado: temos o sistema
4x1 + x2 = 9, 2x1 + 6x2 = 10,
com chute inicial .
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel para sistemas lineares.
O que vamos precisar: a fórmula de atualização de Gauss–Seidel e algumas iterações até ficar “perto” da solução.

Passo 2

Teoria do Gauss–Seidel em duas equações: a ideia é isolar cada variável em sua própria equação e, a cada iteração x1^(k+1) = 9 - x2^(k)4, x2^(k+1) = 10 - 2,x1^(k+1)6 , usar imediatamente o valor mais recente de para calcular .
Então:
Explicando:
  • Na fórmula de , a gente pega a 1ª equação e resolve para .
  • Para , pega a 2ª equação e já coloca o valor novo de .
    Isso acelera a convergência em relação ao método de Jacobi, pois usa logo a última “estimativa” disponível.

Passo 3

1ª iteração ( x1^(1) = 9 - 04 = 2,25, x2^(1) = 10 - 2cdot 2,256 = 10 - 4,56 = 5,56 approx 0,9167 ), começando de , :

Passo 4

2ª iteração ( x1^(2) = 9 - 0,91674 = 8,08334 approx 2,0208, ):
x2^(2) = 10 - 2cdot 2,02086 = 10 - 4,04166 = 5,95846 approx 0,9931

Passo 5

3ª iteração ( x1^(3) = 9 - 0,99314 = 8,00694 approx 2,0017, ):
x2^(3) = 10 - 2cdot 2,00176 = 10 - 4,00346 = 5,99666 approx 0,9994
Já deu para ver que estamos bem próximos de .

Resposta

Aproximação após 3 iterações de Gauss–Seidel:
x approx 2,0017 [3pt] 0,9994,
ou seja, essencialmente e .

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