1. Dado o sistema:
\left\{\begin{aligned}10 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =10 \x_{1}+10 x_{2}+8 x_{3} & =20 \\\ 7 x_{1}+x_{2}+10 x_{3} & =20\end{aligned}\right.
a) Verificar a possibilidade de aplicação do método iterativo de jacobi-Richardson.
b) Se possível, resolvê-lo pelo método do item a).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+x_{2}+x_{3}=10,\\\ x_{1}+10x_{2}+8x_{3}=20,\\\\ 7x_{1}+x_{2}+10x_{3}=20, \end{cases}
e pede para usar o método iterativo de Jacobi‐Richardson. Esse método monta um processo de iteração baseado na parte diagonal da matriz de coeficientes, e converge se, por exemplo, a matriz for estritamente diagonal dominante.

Passo 2

Para verificar a possibilidade de aplicação, checamos a diagonal dominante em cada linha:
linha 1: \lvert10\rvert > \lvert1\rvert+\lvert1\rvert 10>2.
linha 2: \lvert10\rvert > \lvert1\rvert+\lvert8\rvert 10>9.
linha 3: \lvert10\rvert > \lvert7\rvert+\lvert1\rvert 10>8.
Como todas as desigualdades são verdadeiras, a matriz é estritamente diagonal dominante e o método de Jacobi converge.

Passo 3

A fórmula geral de Jacobi extrai a diagonal e isola cada x_i\). Temos o sistema equivalente a \[\begin{cases} x_{1}=\dfrac{10 - x_{2} - x_{3}}{10},\\[0.5em] x_{2}=\dfrac{20 - x_{1} - 8x_{3}}{10},\\[0.5em] x_{3}=\dfrac{20 - 7x_{1} - x_{2}}{10}. \end{cases}
Em notação iterativa, para (k=0,1,2,\dots],
\begin{cases} x_{1}^{(k+1)}=\dfrac{10 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{10},\\[0.5em] x_{2}^{(k+1)}=\dfrac{20 - x_{1}^{(k)} - 8x_{3}^{(k)}}{10},\\[0.5em] x_{3}^{(k+1)}=\dfrac{20 - 7x_{1}^{(k)} - x_{2}^{(k)}}{10}. \end{cases}]

Passo 4

Escolhendo o chute inicial \bigl(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)}\bigr)=(0,0,0) e aplicando repetidas vezes, obtemos as primeiras iterações:
x^{(1)}=(1,\,2,\,2),\quad x^{(2)}\approx(0.6,\,0.3,\,1.1),\quad x^{(3)}\approx(0.86,\,1.06,\,1.55),\quad x^{(4)}\approx(0.739,\,0.674,\,1.292).
Continuando até que a diferença entre iterações seja pequena (por exemplo, abaixo de 10^{-2}), chega-se a
x^{(10)}\approx(0.7795,\;0.8223,\;1.3696).

Resposta

\displaystyle x_{1}\approx0.7795,\quad x_{2}\approx0.8223,\quad x_{3}\approx1.3696.

Exercícios relacionados