1. Dado o sistema A. \mathrm{x}=\mathrm{b} onde
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 3 & -1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 3 & -1 \end{array}\right) \text { e } \mathrm{b}=\left(\begin{array}{l} 4 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right)
a) Verifique a convergência usando o critério de Sassenfeld.
b) Resolva pelo Método de Gauss-Seidel partindo do vetor nulo \operatorname{com} \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) usar o critério de Sassenfeld para verificar se o Método de Gauss–Seidel converge para o sistema
A x = b
com
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}4\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},
e (b) aplicar o Método de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T até \varepsilon=10^{-2}. Para Gauss–Seidel precisamos de pivôs não nulos na diagonal; para Sassenfeld, calcular os coeficientes \beta_i.

Passo 2

Observe que a_{22}=0\). Para evitar divisão por zero ao isolar \(x_2\) no passo iterativo, permutamos a linha 2 com a linha 3. O sistema reescrito fica \[\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 4,\\\\ 0x_1 + 3x_2 - x_3 = 2,\\\\ 1x_1 + 0x_2 + 2x_3 = 3. \end{cases}
Agora os pivôs são a_{11}=2\], \(a_{22}=3, a_{33}=2, todos não nulos.

Passo 3

Aplicamos o critério de Sassenfeld no sistema permutado. Definimos
\beta_1 = \frac{|3|\cdot 0 + |-1|\cdot 0}{|2|} = 0,
\beta_2 = \frac{|0|\cdot \beta_1 + |-1|\cdot 0}{|3|} = 0,
\beta_3 = \frac{|1|\cdot \beta_1 + |0|\cdot \beta_2}{|2|} = 0.
Como \beta = \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\} = 0 < 1, o método converge.

Passo 4

Escrevemos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel para o sistema permutado:
x_1^{(k+1)} = \frac{4 - 3\,x_2^{(k)} + x_3^{(k)}}{2},
x_2^{(k+1)} = \frac{2 + x_3^{(k)}}{3},
x_3^{(k+1)} = \frac{3 - x_1^{(k+1)}}{2}.

Passo 5

Iniciando em x^{(0)}=(0,0,0)^T e repetindo até
\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\|_\infty \le 10^{-2},
obtemos (mostrando apenas alguns passos):
k=1: x^{(1)}=(2,\;0{,}667,\;0{,}500)
k=2: x^{(2)}=(1{,}250,\;0{,}833,\;0{,}875)
k=3: x^{(3)}=(1{,}188,\;0{,}958,\;0{,}906)

k=8: x^{(8)}\approx(0{,}9953,\;0{,}9979,\;1{,}0024)
k=9: x^{(9)}\approx(1{,}0043,\;1{,}0008,\;0{,}9978), com
\|x^{(9)}-x^{(8)}\|_\infty\approx0{,}0091<10^{-2}.

Resposta

a) O método converge porque no critério de Sassenfeld obtivemos \beta=0<1.
b) A solução aproximada por Gauss–Seidel até \varepsilon=10^{-2} é
x \approx \begin{pmatrix}1{,}0043\\\ 1{,}0008\\\ 0{,}9978\end{pmatrix}.

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