Utilizando Gauss Compacto, encontre a inversa da seguinte matriz:
A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz A usando o método de Gauss-Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e aplicar operações elementares (escala de linha, troca de linha e combinação de linhas) até chegar em \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\bigl[A\mid I\bigr] = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Normalizamos o pivô da primeira linha (entrada (1,1)=3) dividindo a linha 1 por 3:
R_1\leftarrow \tfrac{1}{3}R_1
fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 2 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
R_2\leftarrow R_2-2R_1, \quad R_3\leftarrow R_3-R_1
para obter
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & -1 & -\tfrac{2}{3} & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Normalizamos o pivô da segunda linha (entrada (2,2)=-2) dividindo a linha 2 por -2:
R_2\leftarrow -\tfrac12\,R_2
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 2 & -1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Eliminamos as demais entradas na coluna 2:
R_1\leftarrow R_1-0\cdot R_2\quad(\text{já zero}), \quad R_3\leftarrow R_3-2R_2á
para obter
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 7

Normalizamos o pivô da terceira linha (entrada (3,3)=-2) dividindo a linha 3 por -2:
R_3\leftarrow -\tfrac12\,R_3
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

Passo 8

Eliminamos as entradas acima do pivô na coluna 3:
R_1\leftarrow R_1-R_3, \quad R_2\leftarrow R_2-\tfrac12R_3
para chegar em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

Resposta

A inversa da matriz A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\\ \tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\\\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

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