Dado o sistema linear abaixo, resolva utilizando a decomposição LU:
c 3 x1+2 x2-x3=1 2 x1-2 x2+4 x3=-2 -x1+x2-k x3=2 k-3

Passo 1

Opa! Temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas que depende de um parâmetro 3x1 + 2x2 - x3 = 1, 2x1 - 2x2 + 4x3 = -2, -,x1 + x2 - kx3 = 2k - 3 :
Conteúdo: decomposição LU (fatorar a matriz dos coeficientes em triangular inferior e triangular superior) e depois usar substituições para achar . Vamos precisar só de operações de eliminação de Gauss sem troca de linhas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
A = 3 & 2 & -1 2 & -2 & 4 -1 & 1 & -k , b = 1-22k-3,
e queremos L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 com

Passo 3

Fazendo eliminação sem trocar linhas:
  1. Pivô ell21 = 23, ell31 = -13 . Multiplicadores
u22 = -tfrac103, u23 = tfrac143, na 3ª: 5/3 e -k-tfrac13
Subtraindo, as segundas linhas viram
ell32 = 5/3-10/3 = -tfrac12 ª
  1. Pivô L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 -tfrac13 & -tfrac12 & 1 , U = 3 & 2 & -1 0 & -tfrac103 & tfrac143 0 & 0 & 2-k .
Após zerar, .
Resultado final:

Passo 4

Agora resolvemos y1 = 1, y2 = -2 - tfrac23cdot y1 = -2 - tfrac23 = -tfrac83, y3 = (2k-3) -l(-tfrac13r)y1 -l(-tfrac12r)y2 = 2k-3 + tfrac13 + tfrac12!l(-tfrac83r) = 2k-4 (substituição “para frente”):

Passo 5

Em seguida x3 = 2k-42-k = -2(precisamos kneq2) (substituição “para trás”):

Passo 6

Para que a decomposição LU valha sem pivôs nulos, precisamos de , ou seja . Se , a matriz fica singular e não dá LU direta.

Resposta

(x1,x2,x3) = l(1,,-2,,-2r), válido para kneq 2 á

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