Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\\\ 12 x_{2}-x_{3}=4 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \end{array}\right.
(a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.
(b) Encontre a solução utilizando Gauss e pivotação com dimensionamento. Calcule o resíduo da solução encontrada.
(c) Qual a ordem em que as variáveis x_{1}, x_{2} e x_{3}, seriam encontradas caso utilizemos Gauss com pivotação completa?

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\\[4pt] 12x_{2}-x_{3}=4\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \end{cases}
O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Quais trocas de linhas são exigidas se aplicarmos Gauss com pivotação parcial (ou seja, em cada etapa escolhemos o maior pivô em módulo na coluna corrente, entre as linhas restantes).
  2. (b) Resolver o sistema usando Gauss com pivotação com dimensionamento (scaled partial pivoting) e aritmética flutuante com precisão de dois algarismos; em seguida calcular o resíduo da solução encontrada.
  3. (c) Determinar a ordem em que as variáveis \,x_{1},x_{2},x_{3}\, seriam encontradas se usássemos Gauss com pivotação completa (ou seja, permitimos trocar colunas e linhas para escolher o maior elemento em módulo da submatriz restante).
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes e termos independentes conforme o sistema acima.
  • Deve-se usar aritmética de ponto flutuante com precisão de dois algarismos significativos (vou arredondar para dois algarismos significativos após cada operação aritmética, e usar vírgula como separador decimal, por exemplo 1{,}8, 0{,}48, etc.).
  • Quando houver empate nas razões de dimensionamento, uso como critério de desempate o maior valor absoluto do elemento da coluna (ou, se ainda empatar, escolho a linha superior).]

Passo 2

Breve explicação didática dos métodos e das regras de arredondamento que vou aplicar (importante para fazer os cálculos passo a passo na prova).
  1. Arredondamento (regra usada aqui)
  • Sempre que eu fizer uma operação (soma, subtração, multiplicação ou divisão) vou arredondar o resultado para dois algarismos significativos imediatamente.
  • Exemplos de formatação: 2 2{,}0; 0{,}04166... 0{,}042; 1{,}35 1{,}4 (dois algarismos significativos).
  • Conto algarismos significativos começando no primeiro dígito não-nulo.
  1. Pivotação parcial
  • Em cada etapa k escolhemos como pivô o elemento de maior módulo na coluna k entre as linhas k,k+1,\dots. Se necessário, trocamos linhas (essa troca é registrada).
  1. Pivotação com dimensionamento (scaled partial pivoting)
  • Para cada linha i computamos o fator de escala s_i=\max_j |a_{ij}| (máximo dos módulos dos coeficientes na linha).
  • Na etapa k escolhemos a linha que maximiza \displaystyle\frac{|a_{ik}|}{s_i} entre as linhas i\ge k. Essa razão nivela linhas cujos coeficientes têm escalas muito diferentes — evita escolher pivôs relativamente pequenos em linhas de grande escala.
  1. Pivotação completa
  • Em cada etapa procuramos o maior elemento em módulo na submatriz restante e trocamos tanto linhas quanto colunas (troca de colunas muda a ordem das variáveis).
Agora aplico essas regras ao sistema, arredondando a cada operação.

Passo 3

Montagem da matriz aumentada inicial (escrevo com duas casas quando fizer sentido, mas os coeficientes iniciais são exatos):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 12 & -1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right]
Primeiro resolvo a parte (a): Gauss com pivotação parcial — identifico as trocas necessárias apenas olhando os pivôs escolhidos por coluna.
Coluna 1: compare |a_{11}|=1, |a_{21}|=0, |a_{31}|=2. O maior em módulo é 2 (linha 3). Portanto devemos trocar a linha 1 com a linha 3:
troca R_{1}\leftrightarrow R_{3}.
Depois dessa troca a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 12 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right]
Logo, para a pivotação parcial a única troca necessária é R_{1}\leftrightarrow R_{3}. (Isso responde a (a); prosseguimos para (b).)]

Passo 4

Eliminação com pivotação parcial (aqui já tenho a troca R_1\leftrightarrow R_3 aplicada). Vou mostrar os passos com arredondamento a dois algarismos significativos em cada operação — e depois farei o caso com dimensionamento (que, neste exemplo, dará a mesma sequência de pivôs).
Matriz atual após troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2{,}0 & 1{,}0 & 1{,}0 & 5{,}0\\[4pt] 0 & 12{,} & -1{,} & 4{,}\\[4pt] 1{,}0 & 1{,}0 & -1{,}0 & 0{,}0 \end{array}\right]
(Coloquei explicitamente 2{,}0,1{,}0,\dots para lembrar que vamos usar 2 algarismos significativos.)
Eliminação na coluna 1:
  • Para R_2: multiplicador m_{21}=a_{21}/a_{11}=0/2{,}0=0{,}0. Nada a fazer em R_2.
  • Para R_3: m_{31}=a_{31}/a_{11}=1{,}0/2{,}0=0{,}50 (dois algarismos: 0{,}50).
Calculo R_3 \leftarrow R_3 - m_{31} R_1 com arredondamento:
  • m_{31}R_1 = [2{,}0\cdot0{,}50,\;1{,}0\cdot0{,}50,\;1{,}0\cdot0{,}50\;|\;5{,}0\cdot0{,}50] = [1{,}0,\;0{,}50,\;0{,}50\;|\;2{,}5].
  • Subtraindo: R_3 = [1{,}0-1{,}0,\;1{,}0-0{,}50,\;-1{,}0-0{,}50\;|\;0{,}0-2{,}5].
  • Resultado antes do arredondamento: [0,\;0{,}50,\;-1{,}50\;|\;-2{,}50]. Com dois algarismos suficientes já está em formato: 0{,}50,\;-1{,}5,\;-2{,}5.
Depois dessa etapa a matriz triangular superior é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2{,}0 & 1{,}0 & 1{,}0 & 5{,}0\\[4pt] 0 & 12{,} & -1{,} & 4{,}\\[4pt] 0 & 0{,}50 & -1{,}5 & -2{,}5 \end{array}\right]
Agora coluna 2 (segunda etapa):
  • Entre as linhas 2 e 3, comparo |a_{22}|=12 e |a_{32}|=0{,}50. O maior é 12 (linha 2), então não há troca de linhas nesta etapa.
Eliminação na coluna 2:
  • Multiplicador m_{32}=a_{32}/a_{22}=0{,}50/12. Calculando: 0{,}50/12\approx0{,}041666... → com dois algarismos significativos isso vira 0{,}042.
  • m_{32}R_2 \approx [0\cdot0{,}042,\;12\cdot0{,}042,\;-1\cdot0{,}042\;|\;4\cdot0{,}042] \approx [0,\;0{,}504,\;-0{,}042\;|\;0{,}168].
    Arredondando cada entrada para dois algarismos significativos: [0,\;0{,}50,\;-0{,}042,\;0{,}17] (observe 0{,}504\to0{,}50, 0{,}168\to0{,}17).
  • Subtraio de R_3:
    • a_{32}'=0{,}50-0{,}50=0{,}00.
    • a_{33}'=-1{,}5 - (-0{,}042) = -1{,}5 + 0{,}042 = -1{,}458 \to arredondando para dois algarismos significativos dá -1{,}5.
    • RHS: -2{,}5 - 0{,}17 = -2{,}67 \to arredondando para dois algarismos significativos dá -2{,}7.
Matriz triangular final (após eliminar coluna 2):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2{,}0 & 1{,}0 & 1{,}0 & 5{,}0\\[4pt] 0 & 12{,} & -1{,} & 4{,}\\[4pt] 0 & 0{,}00 & -1{,}5 & -2{,}7 \end{array}\right]]

Passo 5

Retrossubstituição (com arredondamento a dois algarismos significativos a cada operação) para obter a solução (este processo resolve a parte (b) pedindo a solução pelo método com dimensionamento; neste caso a pivotação com dimensionamento dá a mesma sequência que a parcial — explico por que no próximo passo).
Equações triangulares (da matriz acima):
  • Terceira equação: -1{,}5\,x_{3} = -2{,}7.
    • x_{3} = (-2{,}7)/(-1{,}5) = 1{,}8 (exato e já com dois algarismos: 1{,}8).
  • Segunda equação: 12\,x_{2} - 1\,x_{3} = 4.
    • Substituo x_{3}=1{,}8: 12\,x_{2} = 4 + x_{3} = 4 + 1{,}8 = 5{,}8.
      • 4 + 1{,}8 = 5{,}8 (arredondo a dois algarismos — já está).
    • x_{2} = 5{,}8/12 \approx 0{,}48333... → com dois algarismos significativos fica 0{,}48.
  • Primeira equação: 2{,}0\,x_{1} + 1{,}0\,x_{2} + 1{,}0\,x_{3} = 5{,}0.
    • Substituo x_{2}=0{,}48 e x_{3}=1{,}8.
    • Calculo passo a passo (arredondando a cada operação):
      1. 5{,}0 - x_{2} = 5{,}0 - 0{,}48 = 4{,}52 \to arredondo para dois algarismos significativos: 4{,}5.
      2. 4{,}5 - x_{3} = 4{,}5 - 1{,}8 = 2{,}7.
      3. Então 2{,}0\,x_{1} = 2{,}7 e x_{1} = 2{,}7 / 2{,}0 = 1{,}35 \to arredondando para dois algarismos significativos dá 1{,}4.
Portanto a solução aproximada obtida com aritmética de dois algarismos significativos é
(x_{1},x_{2},x_{3}) \approx (1{,}4,\;0{,}48,\;1{,}8).

Passo 6

Explicação curta por que o resultado com pivotação com dimensionamento coincide aqui com o da pivotação parcial:
  • Os fatores de escala iniciais são s_{1}=\max\{|1|,|1|,|-1|\}=1, s_{2}=\max\{|0|,|12|,|-1|\}=12, s_{3}=\max\{|2|,|1|,|1|\}=2.
  • Na primeira etapa com dimensionamento comparamos |a_{11}|/s_{1}=1/1=1, |a_{21}|/s_{2}=0/12=0, |a_{31}|/s_{3}=2/2=1. Há empate entre linhas 1 e 3; desempato escolhendo a maior |a_{i1}| (que é 2 na linha 3). Assim trocamos R_1\leftrightarrow R_3 — mesmo que a regra seja ligeiramente diferente, isto resulta na mesma troca que a pivotação parcial. Nas etapas seguintes a razão de escala favoreceu a linha 2 como pivô na segunda coluna, portanto as duas estratégias seguiram o mesmo caminho neste exemplo.

Passo 7

Cálculo do resíduo \mathbf{r}= \mathbf{b} - A\mathbf{x}, usando a solução obtida (1{,}4,\;0{,}48,\;1{,}8) e aritmética com dois algarismos significativos (faço cada equação separadamente e arredondo a cada operação).
  1. Primeira equação: a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} = 1{,}4 + 0{,}48 - 1{,}8.
    • 1{,}4 + 0{,}48 = 1{,}88 \to arredondo para dois algarismos: 1{,}9.
    • 1{,}9 - 1{,}8 = 0{,}1.
    • Resíduo r_{1} = b_{1} - (\text{valor calculado}) = 0 - 0{,}1 = -0{,}1.
  2. Segunda equação: 12x_{2}-x_{3} = 12\cdot0{,}48 - 1{,}8.
    • 12\cdot0{,}48 = 5{,}76 \to arredondo: 5{,}8.
    • 5{,}8 - 1{,}8 = 4{,}0.
    • Resíduo r_{2} = 4 - 4{,}0 = 0{,}0.
  3. Terceira equação: 2x_{1}+x_{2}+x_{3} = 2\cdot1{,}4 + 0{,}48 + 1{,}8.
    • 2\cdot1{,}4 = 2{,}8.
    • 2{,}8 + 0{,}48 = 3{,}28 \to arredondo: 3{,}3.
    • 3{,}3 + 1{,}8 = 5{,}1.
    • Resíduo r_{3} = 5 - 5{,}1 = -0{,}1.
Assim, com o arredondamento usado, o resíduo é aproximadamente
\mathbf{r} \approx (-0{,}10,\;0{,}00,\;-0{,}10).

Passo 8

Agora a parte (c): pivotação completa — quero saber a ordem em que as variáveis \,x_{1},x_{2},x_{3}\, seriam encontradas (isto é, a ordem das colunas escolhidas como pivôs nas etapas).
  1. Na matriz original os módulos dos elementos são
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 12 & 1\\[2pt] 2 & 1 & 1 \end{array}\right]
o maior em módulo é 12 localizado em posição (2,2) — ou seja, coluna 2 é escolhida na primeira etapa. Assim a primeira coluna pivô corresponde à variável x_{2}.
  1. Após trocar linhas e colunas para levar esse 12 para a posição (1,1) e eliminar abaixo, a maior entrada em módulo na submatriz restante (2×2) resulta ser o elemento que corresponde à coluna original 1 (isto é, x_{1}).
  2. Portanto, a sequência de colunas escolhidas como pivôs é: primeiro x_{2}, depois x_{1}, por fim x_{3}.
Em termos de “ordem em que as variáveis seriam encontradas” pela retrossubstituição (isto é, a ordem em que são resolvidas no final) a última coluna pivô corresponde ao primeiro valor obtido na retrossubstituição; mas a resposta solicitada aqui é a ordem de seleção de pivôs/colunas, que é
x_{2}\;,\;x_{1}\;,\;x_{3}.]

Resposta

(a) R_{1}\leftrightarrow R_{3}.\n
(b) (x_{1},x_{2},x_{3}) \approx (1{,}4,\;0{,}48,\;1{,}8). Resíduo \mathbf{r}\approx(-0{,}10,\;0{,}00,\;-0{,}10).\n
(c) Ordem das variáveis escolhidas pelos pivôs (pivotação completa): x_{2},\;x_{1},\;x_{3}.

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