(a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss e pivotação parcial.
(b) Encontre a solução utilizando Gauss e pivotação com dimensionamento. Calcule o resíduo da solução encontrada.
(c) Qual a ordem em que as variáveis x_{1}, x_{2} e x_{3}, seriam encontradas caso utilizemos Gauss com pivotação completa?
(a) Quais trocas de linhas são exigidas se aplicarmos Gauss com pivotação parcial (ou seja, em cada etapa escolhemos o maior pivô em módulo na coluna corrente, entre as linhas restantes).
(b) Resolver o sistema usando Gauss com pivotação com dimensionamento (scaled partial pivoting) e aritmética flutuante com precisão de dois algarismos; em seguida calcular o resíduo da solução encontrada.
(c) Determinar a ordem em que as variáveis \,x_{1},x_{2},x_{3}\, seriam encontradas se usássemos Gauss com pivotação completa (ou seja, permitimos trocar colunas e linhas para escolher o maior elemento em módulo da submatriz restante).
Informações relevantes dadas:
Coeficientes e termos independentes conforme o sistema acima.
Deve-se usar aritmética de ponto flutuante com precisão de dois algarismos significativos (vou arredondar para dois algarismos significativos após cada operação aritmética, e usar vírgula como separador decimal, por exemplo 1{,}8, 0{,}48, etc.).
Quando houver empate nas razões de dimensionamento, uso como critério de desempate o maior valor absoluto do elemento da coluna (ou, se ainda empatar, escolho a linha superior).]
Passo 2
Breve explicação didática dos métodos e das regras de arredondamento que vou aplicar (importante para fazer os cálculos passo a passo na prova).
Arredondamento (regra usada aqui)
Sempre que eu fizer uma operação (soma, subtração, multiplicação ou divisão) vou arredondar o resultado para dois algarismos significativos imediatamente.
Conto algarismos significativos começando no primeiro dígito não-nulo.
Pivotação parcial
Em cada etapa k escolhemos como pivô o elemento de maior módulo na coluna k entre as linhas k,k+1,\dots. Se necessário, trocamos linhas (essa troca é registrada).
Pivotação com dimensionamento (scaled partial pivoting)
Para cada linha i computamos o fator de escala s_i=\max_j |a_{ij}| (máximo dos módulos dos coeficientes na linha).
Na etapa k escolhemos a linha que maximiza \displaystyle\frac{|a_{ik}|}{s_i} entre as linhas i\ge k. Essa razão nivela linhas cujos coeficientes têm escalas muito diferentes — evita escolher pivôs relativamente pequenos em linhas de grande escala.
Pivotação completa
Em cada etapa procuramos o maior elemento em módulo na submatriz restante e trocamos tanto linhas quanto colunas (troca de colunas muda a ordem das variáveis).
Agora aplico essas regras ao sistema, arredondando a cada operação.
Passo 3
Montagem da matriz aumentada inicial (escrevo com duas casas quando fizer sentido, mas os coeficientes iniciais são exatos):
Primeiro resolvo a parte (a): Gauss com pivotação parcial — identifico as trocas necessárias apenas olhando os pivôs escolhidos por coluna.
Coluna 1: compare |a_{11}|=1, |a_{21}|=0, |a_{31}|=2. O maior em módulo é 2 (linha 3). Portanto devemos trocar a linha 1 com a linha 3:
troca R_{1}\leftrightarrow R_{3}.
Logo, para a pivotação parcial a única troca necessária é R_{1}\leftrightarrow R_{3}. (Isso responde a (a); prosseguimos para (b).)]
Passo 4
Eliminação com pivotação parcial (aqui já tenho a troca R_1\leftrightarrow R_3 aplicada). Vou mostrar os passos com arredondamento a dois algarismos significativos em cada operação — e depois farei o caso com dimensionamento (que, neste exemplo, dará a mesma sequência de pivôs).
Retrossubstituição (com arredondamento a dois algarismos significativos a cada operação) para obter a solução (este processo resolve a parte (b) pedindo a solução pelo método com dimensionamento; neste caso a pivotação com dimensionamento dá a mesma sequência que a parcial — explico por que no próximo passo).
Equações triangulares (da matriz acima):
Terceira equação: -1{,}5\,x_{3} = -2{,}7.
x_{3} = (-2{,}7)/(-1{,}5) = 1{,}8 (exato e já com dois algarismos: 1{,}8).
Explicação curta por que o resultado com pivotação com dimensionamento coincide aqui com o da pivotação parcial:
Os fatores de escala iniciais são s_{1}=\max\{|1|,|1|,|-1|\}=1, s_{2}=\max\{|0|,|12|,|-1|\}=12, s_{3}=\max\{|2|,|1|,|1|\}=2.
Na primeira etapa com dimensionamento comparamos |a_{11}|/s_{1}=1/1=1, |a_{21}|/s_{2}=0/12=0, |a_{31}|/s_{3}=2/2=1. Há empate entre linhas 1 e 3; desempato escolhendo a maior |a_{i1}| (que é 2 na linha 3). Assim trocamos R_1\leftrightarrow R_3 — mesmo que a regra seja ligeiramente diferente, isto resulta na mesma troca que a pivotação parcial. Nas etapas seguintes a razão de escala favoreceu a linha 2 como pivô na segunda coluna, portanto as duas estratégias seguiram o mesmo caminho neste exemplo.
Passo 7
Cálculo do resíduo \mathbf{r}= \mathbf{b} - A\mathbf{x}, usando a solução obtida (1{,}4,\;0{,}48,\;1{,}8) e aritmética com dois algarismos significativos (faço cada equação separadamente e arredondo a cada operação).
Primeira equação: a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} = 1{,}4 + 0{,}48 - 1{,}8.
1{,}4 + 0{,}48 = 1{,}88 \to arredondo para dois algarismos: 1{,}9.
Assim, com o arredondamento usado, o resíduo é aproximadamente
\mathbf{r} \approx (-0{,}10,\;0{,}00,\;-0{,}10).
Passo 8
Agora a parte (c): pivotação completa — quero saber a ordem em que as variáveis \,x_{1},x_{2},x_{3}\, seriam encontradas (isto é, a ordem das colunas escolhidas como pivôs nas etapas).
o maior em módulo é 12 localizado em posição (2,2) — ou seja, coluna 2 é escolhida na primeira etapa. Assim a primeira coluna pivô corresponde à variável x_{2}.
Após trocar linhas e colunas para levar esse 12 para a posição (1,1) e eliminar abaixo, a maior entrada em módulo na submatriz restante (2×2) resulta ser o elemento que corresponde à coluna original 1 (isto é, x_{1}).
Portanto, a sequência de colunas escolhidas como pivôs é: primeiro x_{2}, depois x_{1}, por fim x_{3}.
Em termos de “ordem em que as variáveis seriam encontradas” pela retrossubstituição (isto é, a ordem em que são resolvidas no final) a última coluna pivô corresponde ao primeiro valor obtido na retrossubstituição; mas a resposta solicitada aqui é a ordem de seleção de pivôs/colunas, que é
x_{2}\;,\;x_{1}\;,\;x_{3}.]
Resposta
(a) R_{1}\leftrightarrow R_{3}.\n
(b) (x_{1},x_{2},x_{3}) \approx (1{,}4,\;0{,}48,\;1{,}8). Resíduo \mathbf{r}\approx(-0{,}10,\;0{,}00,\;-0{,}10).\n
(c) Ordem das variáveis escolhidas pelos pivôs (pivotação completa): x_{2},\;x_{1},\;x_{3}.