(a) Encontre \mathrm{o}(\mathrm{s}) valor(es) de \alpha para \mathrm{o}(\mathrm{s}) qual(is) o sistema não tem solução.
(b) Encontre o(s) valor(es) de \alpha para o(s) qual(is) o sistema tem um número infinito de soluções.
(c) Suponha que existe uma única solução para o sistema, encontre esta solução em função de \alpha.
Explicação curta (didática): Para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A quadrada 2\times2, a existência e unicidade da solução dependem do determinante de A. Se \det(A)\neq0 então existe exatamente uma solução; se \det(A)=0 pode haver 0 ou infinitas soluções — é preciso comparar o posto da matriz A com o posto da matriz aumentada [A|\mathbf{b}].]
Conclusão deste passo: \det(A)=0 ocorre exatamente quando 9\alpha^{2}-1=0, isto é quando \alpha=\pm \dfrac{1}{3}. Para todos os outros valores de \alpha (ou seja \alpha\neq\pm\dfrac{1}{3}) teremos \det(A)\neq0 e, portanto, solução única.
Passo 4
Agora tratamos o caso crítico \alpha=\pm\dfrac{1}{3}. Quando \det(A)=0 o posto de A é 1 ou 0. Aqui claramente não é a matriz zero, então o posto de A é 1: as linhas (ou colunas) de A são proporcionais. Para decidir entre 0 ou infinitas soluções com \det(A)=0 comparamos se o vetor \mathbf{b} está na mesma direção (ou combinação) — isto é, verificamos se as equações são proporcionais também.
Procedimento prático: encontrar \lambda tal que a segunda linha de A seja \lambda vezes a primeira linha, e testar se a segunda componente de \mathbf{b} é \lambda vezes a primeira componente de \mathbf{b}.
Passo 5
Encontramos \lambda tal que
(3\alpha,\,-1)=\lambda(2,\,-6\alpha).
Da primeira componente vem \lambda=\dfrac{3\alpha}{2}. Usando a segunda componente devemos ter
Isto implica 9\alpha^{2}=1, ou seja \alpha=\pm\dfrac{1}{3} — coincidência esperada porque estamos no caso \det(A)=0.
Agora avaliamos \lambda para cada caso e testamos a consistência com \mathbf{b}.
Passo 6
Caso \alpha=\dfrac{1}{3}:
\lambda=\dfrac{3\cdot(1/3)}{2}=\dfrac{1}{2}.
Verificamos se a segunda componente de \mathbf{b} é \lambda vezes a primeira:
\lambda\cdot 3=\dfrac{1}{2}\cdot 3=\dfrac{3}{2},
que coincide com a segunda componente de \mathbf{b}. Portanto, para \alpha=\dfrac{1}{3} as duas equações são proporcionais e o sistema é compatível com posto 1: há infinitas soluções (uma família de soluções com uma liberdade).
que NÃO coincide com a segunda componente de \mathbf{b} (que é +\tfrac{3}{2}). Portanto, as equações são incompatíveis: para \alpha=-\dfrac{1}{3} o sistema não tem solução.
Passo 8
Agora tratamos o caso em que existe única solução, isto é para \alpha\neq\pm\dfrac{1}{3}. Vamos aplicar a Regra de Cramer para obter x_1 e x_2.
Explicando Cramer (didática): para 2\times2 com \det(A)\neq0, definimos \;D=\det(A), D_1 determinante da matriz obtida substituindo a primeira coluna de A por \mathbf{b}, e D_2 substituindo a segunda coluna por \mathbf{b}. Então x_1=D_1/D e x_2=D_2/D.
Passo 9
Calculamos D (já feito):
D=18\alpha^{2}-2.
Calculamos D_1: substituir primeira coluna por \mathbf{b},
assumindo novamente \alpha\neq\dfrac{1}{3}. Também é necessário \alpha\neq -\tfrac{1}{3} para que o denominador não seja zero; portanto a fórmula vale para \alpha\neq\pm\dfrac{1}{3}.
Passo 11
Interpretação final: para \alpha\neq\pm\dfrac{1}{3} há solução única e ela é