Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=6 \\\ x_{2}-x_{3}+x_{4}=5 \\\ x_{4}=5 \\\ x_{3}-x_{4}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear usando o método de eliminação de Gauss e que eu indique se foram necessárias trocas de linhas. As equações dadas são:
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,\\[4pt] x_{2}-x_{3}+x_{4}=5,\\[4pt] x_{4}=5,\\[4pt] x_{3}-x_{4}=3. \end{cases}
Informações relevantes recebidas:
\begin{aligned} &\text{Eq1: }2x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,\\\ &\text{Eq2: }0\cdot x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=5,\\\ &\text{Eq3: }0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+x_{4}=5,\\\ &\text{Eq4: }0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+x_{3}-x_{4}=3. \end{aligned}
O objetivo é aplicar eliminação (operações elementares sobre linhas) para obter uma forma triangular (ou diagonal), ler as incógnitas e indicar se houve trocas de linhas.]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrevo a matriz aumentada do sistema. A matriz é obtida colocando os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]
Explicando brevemente (didático): cada linha corresponde a uma equação; cada coluna, a um coeficiente de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. As operações elementares permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra linha. O objetivo é criar pivôs (coeficientes não nulos na diagonal) e zerar abaixo (e depois acima) desses pivôs.]

Passo 3

Começo pela primeira coluna (coluna de x_{1}). O pivô natural é o elemento na linha 1, coluna 1, que é 2. Como as linhas 2,3,4 já têm zero nessa coluna, não preciso eliminar nada abaixo. Portanto mantenho a linha 1. Nenhuma troca necessária até aqui.
Estado atual (mesma matriz):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 4

Vou para a segunda coluna (coluna de x_{2}), pivô esperado na linha 2. O elemento na posição (2,2) é 1, que é um ótimo pivô (não nulo). As entradas abaixo na coluna 2 (linhas 3 e 4) são zero, então também não preciso eliminar nada nessa etapa. Sem trocas aqui.
Matriz permanece:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora olho a terceira coluna (coluna de x_{3}), esperando um pivô na linha 3. O elemento na posição (3,3) é 0, ou seja, não posso usar essa linha como pivô para x_{3}. No entanto, na linha 4 a entrada em x_{3} é 1 (não nula). Para proceder com Gauss preciso de um pivô não nulo na linha 3, então faço uma troca de linhas entre a linha 3 e a linha 4.
Faço R_{3}\leftrightarrow R_{4}. Essa é uma troca de linhas necessária.
Após a troca a matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora o pivô na posição (3,3) é 1. Uso esse pivô para eliminar os coeficientes de x_{3} nas linhas acima (linhas 1 e 2).
  • Para zerar o coeficiente de x_{3} em R_{1} (atualmente 1), faço R_{1}:=R_{1}-R_{3}.
  • Para zerar o coeficiente de x_{3} em R_{2} (atualmente -1), faço R_{2}:=R_{2}+R_{3}.
Calculo explícito:
  • R_{1}-R_{3}: linha 1 [2,\,-1,\,1,\,-1\mid6] - [0,\,0,\,1,\,-1\mid3] = [2,\,-1,\,0,\,0\mid3].
  • R_{2}+R_{3}: linha 2 [0,\,1,\,-1,\,1\mid5] + [0,\,0,\,1,\,-1\mid3] = [0,\,1,\,0,\,0\mid8].
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora uso o pivô da quarta linha (posição (4,4) = 1) para eliminar entradas acima nessa coluna. A única entrada não nula acima em coluna 4 é em R_{3}, que é -1. Faço R_{3}:=R_{3}+R_{4} para zerar esse -1.
Cálculo:
  • R_{3}+R_{4}: [0,0,1,-1\mid3]+[0,0,0,1\mid5]=[0,0,1,0\mid8].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 8

Restou um pequeno acerto: na linha 1 ainda há um coeficiente -1 em x_{2}. Vou eliminá-lo usando o pivô da linha 2. Faço R_{1}:=R_{1}+R_{2} (porque em R_{1} o coeficiente é -1 e em R_{2} é 1, então a soma zera).
Cálculo:
  • R_{1}+R_{2}: [2,-1,0,0\mid3]+[0,1,0,0\mid8]=[2,0,0,0\mid11].
Agora a matriz é praticamente diagonal:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 0 & 0 & 11\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]
Finalmente, normalizo a primeira linha dividindo por 2 para obter o pivô unitário:
R_{1}:=\dfrac{1}{2}R_{1}, o que dá [1,0,0,0\mid \tfrac{11}{2}].]

Passo 9

Agora leio as soluções diretamente da matriz diagonal final:
\begin{aligned} x_{1} &= \frac{11}{2},\\[4pt] x_{2} &= 8,\\[4pt] x_{3} &= 8,\\[4pt] x_{4} &= 5. \end{aligned}
Faço uma rápida verificação substituindo em uma equação original (por exemplo a primeira):
2\cdot\frac{11}{2}-8+8-5 = 11-8+8-5=6,
confere com o lado direito da primeira equação. As demais equações também conferem (por exemplo x_{4}=5 e x_{3}-x_{4}=8-5=3).]

Passo 10

Sobre trocas de linhas: foi necessária uma troca única entre a linha 3 e a linha 4 (isto é, entre as equações \,x_{4}=5 e \,x_{3}-x_{4}=3) para obter um pivô não nulo na terceira etapa. Não houve necessidade de outras trocas.

Resposta

x_{1}=\dfrac{11}{2}
x_{2}=8
x_{3}=8
x_{4}=5
Trocas de linhas necessárias: sim — uma troca ( R_{3}\leftrightarrow R_{4}).

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