Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas. \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=6 \\\ x_{2}-x_{3}+x_{4}=5 \\\ x_{4}=5 \\\ x_{3}-x_{4}=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva o sistema linear usando o método de eliminação de Gauss e que eu indique se foram necessárias trocas de linhas. As equações dadas são:
O objetivo é aplicar eliminação (operações elementares sobre linhas) para obter uma forma triangular (ou diagonal), ler as incógnitas e indicar se houve trocas de linhas.]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrevo a matriz aumentada do sistema. A matriz é obtida colocando os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes:
Explicando brevemente (didático): cada linha corresponde a uma equação; cada coluna, a um coeficiente de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. As operações elementares permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra linha. O objetivo é criar pivôs (coeficientes não nulos na diagonal) e zerar abaixo (e depois acima) desses pivôs.]
Passo 3
Começo pela primeira coluna (coluna de x_{1}). O pivô natural é o elemento na linha 1, coluna 1, que é 2. Como as linhas 2,3,4 já têm zero nessa coluna, não preciso eliminar nada abaixo. Portanto mantenho a linha 1. Nenhuma troca necessária até aqui.
Vou para a segunda coluna (coluna de x_{2}), pivô esperado na linha 2. O elemento na posição (2,2) é 1, que é um ótimo pivô (não nulo). As entradas abaixo na coluna 2 (linhas 3 e 4) são zero, então também não preciso eliminar nada nessa etapa. Sem trocas aqui.
Agora olho a terceira coluna (coluna de x_{3}), esperando um pivô na linha 3. O elemento na posição (3,3) é 0, ou seja, não posso usar essa linha como pivô para x_{3}. No entanto, na linha 4 a entrada em x_{3} é 1 (não nula). Para proceder com Gauss preciso de um pivô não nulo na linha 3, então faço uma troca de linhas entre a linha 3 e a linha 4.
Faço R_{3}\leftrightarrow R_{4}. Essa é uma troca de linhas necessária.
Agora uso o pivô da quarta linha (posição (4,4) = 1) para eliminar entradas acima nessa coluna. A única entrada não nula acima em coluna 4 é em R_{3}, que é -1. Faço R_{3}:=R_{3}+R_{4} para zerar esse -1.
Restou um pequeno acerto: na linha 1 ainda há um coeficiente -1 em x_{2}. Vou eliminá-lo usando o pivô da linha 2. Faço R_{1}:=R_{1}+R_{2} (porque em R_{1} o coeficiente é -1 e em R_{2} é 1, então a soma zera).
Faço uma rápida verificação substituindo em uma equação original (por exemplo a primeira):
2\cdot\frac{11}{2}-8+8-5 = 11-8+8-5=6,
confere com o lado direito da primeira equação. As demais equações também conferem (por exemplo x_{4}=5 e x_{3}-x_{4}=8-5=3).]
Passo 10
Sobre trocas de linhas: foi necessária uma troca única entre a linha 3 e a linha 4 (isto é, entre as equações \,x_{4}=5 e \,x_{3}-x_{4}=3) para obter um pivô não nulo na terceira etapa. Não houve necessidade de outras trocas.
Resposta
x_{1}=\dfrac{11}{2}
x_{2}=8
x_{3}=8
x_{4}=5
Trocas de linhas necessárias: sim — uma troca (R_{3}\leftrightarrow R_{4}).