Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.
\left\{\begin{array}{l}x_{2}-2 x_{3}=4 \\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=6 \\\ x_{1}-x_{3}=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o método de eliminação de Gauss e dizer se foram necessárias trocas de linhas. O sistema dado é:
\begin{cases} x_{2}-2x_{3}=4\\[4pt] x_{1}-x_{2}+x_{3}=6\\[4pt] x_{1}-x_{3}=2 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\begin{array}{l} \text{Equação (1): }0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}-2\cdot x_{3}=4\\[4pt] \text{Equação (2): }1\cdot x_{1}-1\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}=6\\[4pt] \text{Equação (3): }1\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}=2 \end{array}çãçãçã
O objetivo imediato é transformar esse sistema na forma de matriz aumentada e aplicar operações de linhas (trocas de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular e verificar consistência.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, colunas às incógnitas x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna aos termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right]
Aqui eu peguei os coeficientes diretamente das equações listadas em Passo 1.]

Passo 3

Breve explicação do método (pra gente ficar alinhado): o objetivo da eliminação de Gauss é criar zeros abaixo dos pivôs (elementos usados para eliminar) coluna por coluna, até obter uma matriz triangular superior. As operações permitidas são:
  1. trocar duas linhas ( R_i \leftrightarrow R_j),
  2. multiplicar uma linha por escalar não nulo,
  3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra ( R_i \leftarrow R_i + kR_j).
    Escolhemos pivôs não nulos na diagonal principal; se o elemento na posição do pivô for zero, fazemos uma troca de linhas para obter um pivô não nulo.

Passo 4

Observando a matriz aumentada, o elemento na posição (1,1) (primeira linha, primeira coluna) é 0. Não podemos usar zero como pivô. Então precisamos trocar a linha 1 por alguma linha que tenha coeficiente não nulo em x_{1}. Podemos trocar com a linha 2 (que tem 1 em x_{1}). Realizo a troca:
R_{1}\leftrightarrow R_{2}
Aplicando essa troca obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right]
Portanto, sim, foi necessária pelo menos uma troca de linhas (especificamente R_{1}\leftrightarrow R_{2}). Vamos continuar a eliminação.]

Passo 5

Usamos o pivô \;1 da primeira linha (posição (1,1)) para zerar abaixo na coluna 1. Subtraímos a linha 1 da linha 3:
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}
Cálculo dos elementos da nova R_{3}:
\begin{array}{l} 1-1=0,\\[3pt] 0-(-1)=1,\\[3pt] -1-1=-2,\\[3pt] 2-6=-4. \end{array}
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora passamos para o segundo pivô: posição (2,2) tem valor \;1, ótimo (não precisamos trocar linhas agora). Usamos esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele na coluna 2. Fazemos:
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}
Cálculo dos elementos da nova R_{3}:
\begin{array}{l} 0-0=0,\\[3pt] 1-1=0,\\[3pt] -2-(-2)=0,\\[3pt] -4-4=-8. \end{array}
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -8 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação da última linha obtida: a terceira linha agora corresponde à equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=-8,
ou seja,
0 = -8.
Isto é uma contradição (uma igualdade falsa), o que indica que o sistema é inconsistente. Quando na eliminação de Gauss surge uma linha com todos os coeficientes de incógnitas zero e o termo independente não é zero, concluímos que o sistema não tem solução.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).
Foi necessária troca de linhas: sim, R_{1}\leftrightarrow R_{2}.

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