Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas. \left\{\begin{array}{l}x_{2}-2 x_{3}=4 \\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=6 \\\ x_{1}-x_{3}=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o método de eliminação de Gauss e dizer se foram necessárias trocas de linhas. O sistema dado é:
O objetivo imediato é transformar esse sistema na forma de matriz aumentada e aplicar operações de linhas (trocas de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular e verificar consistência.]
Passo 2
Montamos a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, colunas às incógnitas x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna aos termos independentes):
Aqui eu peguei os coeficientes diretamente das equações listadas em Passo 1.]
Passo 3
Breve explicação do método (pra gente ficar alinhado): o objetivo da eliminação de Gauss é criar zeros abaixo dos pivôs (elementos usados para eliminar) coluna por coluna, até obter uma matriz triangular superior. As operações permitidas são:
trocar duas linhas (R_i \leftrightarrow R_j),
multiplicar uma linha por escalar não nulo,
adicionar a uma linha um múltiplo de outra (R_i \leftarrow R_i + kR_j).
Escolhemos pivôs não nulos na diagonal principal; se o elemento na posição do pivô for zero, fazemos uma troca de linhas para obter um pivô não nulo.
Passo 4
Observando a matriz aumentada, o elemento na posição (1,1) (primeira linha, primeira coluna) é 0. Não podemos usar zero como pivô. Então precisamos trocar a linha 1 por alguma linha que tenha coeficiente não nulo em x_{1}. Podemos trocar com a linha 2 (que tem 1 em x_{1}). Realizo a troca:
Agora passamos para o segundo pivô: posição (2,2) tem valor \;1, ótimo (não precisamos trocar linhas agora). Usamos esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele na coluna 2. Fazemos:
Interpretação da última linha obtida: a terceira linha agora corresponde à equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=-8,
ou seja,
0 = -8.
Isto é uma contradição (uma igualdade falsa), o que indica que o sistema é inconsistente. Quando na eliminação de Gauss surge uma linha com todos os coeficientes de incógnitas zero e o termo independente não é zero, concluímos que o sistema não tem solução.
Resposta
Sistema incompatível (sem solução).
Foi necessária troca de linhas: sim, R_{1}\leftrightarrow R_{2}.