Um engenheiro civil envolvido em uma construção requer 4800,5810 e 5690 \mathrm{~m}^{3} de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para a construção de um prédio. Existem três tipos de escavações nas quais esses materiais podem ser obtidos. As composições dessas escavações são dadas pela tabela abaixo. Encontre quantos metros cúbicos devem ser retirados de cada escavação para atender as necessidades do engenheiro, aplicando um método iterativo que seguramente convergirá para uma solução aproximada. |Observações: (a) realize pelo menos três iterações e calcule os respectivos erros relativos aproximados; e (b) determine quantos digitos corretos existem na solução aproximada encontrada.]
Areia
(%)
Cascalho fino
(%)
Cascalho grosso
(%)
Escavação 1
52
30
18
Escavação 2
20
50
30
Escavação 3
25
20
55
Passo 1
O enunciado fornece as quantidades necessárias de cada material e a composição (em %) de cada escavação. Precisamos determinar quantos metros cúbicos devem ser retirados de cada escavação para suprir a obra. Dados e o que se pede:
x_1=\text{volume (m}^3\text{) retirado da Escavação 1},
x_2=\text{volume (m}^3\text{) retirado da Escavação 2},
x_3=\text{volume (m}^3\text{) retirado da Escavação 3}.
Perguntas explícitas:
Determine x_1,x_2,x_3 que satisfazem as necessidades.
Aplique um método iterativo que tenha convergência garantida; faça pelo menos três iterações e calcule os erros relativos aproximados.
Determine quantos dígitos corretos existem na solução aproximada encontrada.
Passo 2
Montamos o sistema linear a partir das porcentagens (transformadas em frações decimais). Cada linha soma as contribuições das escavações para cada material:
Esse é o sistema que vamos resolver por um método iterativo.]
Passo 3
Escolha do método iterativo e justificativa (sem pular etapas):
Eu uso o método de Gauss–Seidel (iterativo por substituição sequencial). Motivo: a matriz dos coeficientes possui dominância diagonal (linhas 1 e 3 têm diagonal estritamente maior que a soma dos demais elementos da linha; a linha 2 é igualitária), o que garante convergência do Gauss–Seidel neste caso prático. Em termos informais: a técnica substitui cada incógnita usando os valores mais recentes disponíveis, e para matrizes diagonalmente dominantes isso converge de forma segura.
Forma iterativa (isolando cada variável nas equações):
x_1=\frac{4800-0,20x_2-0,25x_3}{0,52},
x_2=\frac{5810-0,30x_1-0,20x_3}{0,50},
x_3=\frac{5690-0,18x_1-0,30x_2}{0,55}.
No Gauss–Seidel, na iteração k+1 usamos imediatamente os valores atualizados de x_1,x_2 quando disponíveis.
Passo 4
Como medir erro aproximado (didática):
Erro aproximado relativo entre duas iterações consecutivas (útil na prova) para cada variável é
Isso nos diz, em percentual, quanto a nova aproximação mudou em relação à sua magnitude. Para contar dígitos corretos usamos o critério clássico de dígitos significativos: se o erro relativo satisfa z
então a aproximação tem pelo menos p dígitos significativos corretos.
Passo 5
Iterações (iniciando com chute inicial simples \,x^{(0)}=(0,0,0)\,). Faço passo a passo cada atualização (calculei com precisão suficiente para provas; mostro os aritméticos principais):
Erro relativo aproximado (iteração 0 → 1):
Como x^{(0)}=0, a fórmula gera |x^{(1)}-0|/|x^{(1)}|=1. Assim, em percentagem temos, para a primeira atualização:
Para determinar quantos dígitos corretos a aproximação tem, é conveniente conhecer (ou obter) a solução exata do sistema linear e comparar. Resolvi o sistema por eliminação (mostro só o resultado final da eliminação para não alongar demais) e obtive a solução precisa:
Aplicando o critério de dígitos significativos (erro relativo \le \tfrac{1}{2}\cdot10^{-p} para garantir p dígitos corretos):
Para x_1: erro relativo 0,04102. \tfrac{1}{2}\cdot10^{-1}=0,05 (satisfeito), \tfrac{1}{2}\cdot10^{-2}=0,005 (não satisfeito). Logo tem 1 dígito significativo correto.
Para x_2: erro relativo 0,0001638. \tfrac{1}{2}\cdot10^{-3}=0,0005 (satisfeito) e \tfrac{1}{2}\cdot10^{-4}=0,00005 (não satisfeito). Logo tem 3 dígitos significativos corretos.
Para x_3: erro relativo 0,01039. \tfrac{1}{2}\cdot10^{-1}=0,05 (satisfeito) e \tfrac{1}{2}\cdot10^{-2}=0,005 (não satisfeito). Logo tem 1 dígito significativo correto.