Usando decomposição PLU e aritmética de 6 digitos, calcule o determinante da matriz: A=\left[\begin{array}{llll}4.286 & 2.895 & 4.619 & 2.035 \\\\ 2.917 & 4.788 & 0.4386 & 4.376 \\\\ 2.53 & 4.131 & 2.653 & 1.095 \\\\ 0.5406 & 4.946 & 4.643 & 3.649\end{array}\right]
\operatorname{det}(A)=
Para facilitar a transcrição, estes dados poderão ser úteis:
[[4.286, 2.895, 4.619, 2.035], [2.917, 4.788, 0.4386, 4.376], [2.53, 4.131, 2.653, 1.095], [0.5406, 4.946, 4.643, 3.649]]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A usando decomposição PLU e aritmética de 6 dígitos. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 4.286 & 2.895 & 4.619 & 2.035\\[4pt] 2.917 & 4.788 & 0.4386 & 4.376\\[4pt] 2.53 & 4.131 & 2.653 & 1.095\\[4pt] 0.5406 & 4.946 & 4.643 & 3.649 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que vou usar (já fornecidas): a matriz A acima e a restrição de usar aritmética com 6 dígitos significativos (vou arredondar resultados intermediários para 6 dígitos significativos em cada operação, conforme solicitado). Não vou pedir nada a você — sigo só com esses dados.]

Passo 2

O que é a decomposição PLU e por que ela nos dá o determinante (explicação didática)?
  • A decomposição PLU procura matrizes P,L,U tais que
P\,A = L\,U,
onde P é uma matriz de permutação (representa trocas de linhas), L é triangular inferior com 1s na diagonal (os multiplicadores da eliminação) e U é triangular superior (a forma triangular resultante).
  • Propriedade útil: \det(P)=\pm 1 (cada troca de linhas muda o sinal), \det(L)=1 (por ter 1s na diagonal) e \det(U) é o produto das entradas da diagonal de U. Assim, se houve s trocas de linhas,
\det(A)=(-1)^s\prod_{i=1}^{n} u_{ii}.
Vou seguir eliminação com pivoteamento parcial (escolho a maior magnitude na coluna como pivô), armazenar as trocas para saber s, e usar aritmética com 6 dígitos significativos a cada passo.

Passo 3

Eliminação na coluna 1 (pivot na linha 1: não há troca).
  • Pivot \,u_{11}=4{,}286.
  • Calculamos os multiplicadores \,m_{21}=\dfrac{2{,}917}{4{,}286}, \,m_{31}=\dfrac{2{,}53}{4{,}286}, \,m_{41}=\dfrac{0{,}5406}{4{,}286}, arredondando para 6 dígitos significativos:
m_{21}=0{,}680534,\qquad m_{31}=0{,}590522,\qquad m_{41}=0{,}126173.
  • Atualizamos as linhas 2,3,4 pela operação R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1. Faço cada produto e subtração com arredondamento para 6 dígitos significativos.
    • Para R_2: m_{21}R_1 \approx (2{,}917,\;1{,}97015,\;3{,}14347,\;1{,}38489),
R_2 - m_{21}R_1 \approx (0,\;2{,}81785,\;-2{,}70487,\;2{,}99111).
  • Para R_3: m_{31}R_1 \approx (2{,}53,\;1{,}70951,\;2{,}72862,\;1{,}20171),
R_3 - m_{31}R_1 \approx (0,\;2{,}42149,\;-0{,}07562,\;-0{,}10671).
  • Para R_4: m_{41}R_1 \approx (0{,}5406,\;0{,}36527,\;0{,}582393,\;0{,}256762),
R_4 - m_{41}R_1 \approx (0,\;4{,}58073,\;4{,}06061,\;3{,}39224).
  • Estado da matriz (após etapa 1), com cada entrada arredondada a 6 dígitos significativos:
\begin{pmatrix} 4{,}286 & 2{,}895 & 4{,}619 & 2{,}035\\[4pt] 0 & 2{,}81785 & -2{,}70487 & 2{,}99111\\[4pt] 0 & 2{,}42149 & -0{,}07562 & -0{,}10671\\[4pt] 0 & 4{,}58073 & 4{,}06061 & 3{,}39224 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Eliminação na coluna 2 (pivot com pivoteamento parcial).
  • Na submatriz das linhas 2–4, as entradas da coluna 2 são 2{,}81785,\;2{,}42149,\;4{,}58073. O maior em magnitude é 4{,}58073 (linha 4). Então troco a linha 2 com a linha 4. Isso é uma troca de linhas: conto s=1 troca até agora. Depois da troca, a submatriz fica:
\begin{pmatrix} \text{(linha 1)}\\[2pt] 0 & 4{,}58073 & 4{,}06061 & 3{,}39224\\[4pt] 0 & 2{,}42149 & -0{,}07562 & -0{,}10671\\[4pt] 0 & 2{,}81785 & -2{,}70487 & 2{,}99111 \end{pmatrix}.
  • Pivot agora \,u_{22}=4{,}58073.
  • Multiplicadores (linhas 3 e 4 da submatriz):
m_{32}=\dfrac{2{,}42149}{4{,}58073}=0{,}528889,\qquad m_{42}=\dfrac{2{,}81785}{4{,}58073}=0{,}615379
(arredondados para 6 dígitos significativos).
  • Atualizamos linhas 3 e 4:
    • m_{32} \cdot nova R_2 \approx (0,\;2{,}42149,\;2{,}14761,\;1{,}79412). Subtraindo: R_3 - m_{32}R_2 \approx (0,\;0,\;-2{,}22323,\;-1{,}90083).
    • m_{42}\cdot nova R_2 \approx (0,\;2{,}81785,\;2{,}49881,\;2{,}08751). Subtraindo: R_4 - m_{42}R_2 \approx (0,\;0,\;-5{,}20368,\;0{,}90360).
  • Estado da matriz (após etapa 2 e a troca já contabilizada), com entradas a 6 dígitos significativos:
\begin{pmatrix} 4{,}286 & 2{,}895 & 4{,}619 & 2{,}035\\[4pt] 0 & 4{,}58073 & 4{,}06061 & 3{,}39224\\[4pt] 0 & 0 & -2{,}22323 & -1{,}90083\\[4pt] 0 & 0 & -5{,}20368 & 0{,}90360 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Eliminação na coluna 3 (pivot com pivoteamento parcial).
  • Na submatriz das linhas 3–4, as entradas da coluna 3 são -2{,}22323 e -5{,}20368. O maior em magnitude é -5{,}20368 (linha 4). Faço troca entre linhas 3 e 4. Conto mais uma troca: agora s=2 trocas no total (o sinal será (-1)^2=+1 no final).
  • Após a troca, o pivot é \,u_{33}=-5{,}20368.
  • Multiplicador para zerar linha 4 (nova) é
m_{43}=\dfrac{-2{,}22323}{-5{,}20368}=0{,}427332
(arredondado para 6 dígitos significativos).
  • Atualizamos a última linha:
    • m_{43}\cdot linha 3 (após troca) dá para a coluna 4 aproximadamente 0{,}38612.
    • Subtraindo, a última entrada na linha 4 torna-se -1{,}90083 - 0{,}38612 = -2{,}28695(arredondado para 6 dígitos).
  • Agora a matriz está triangular superior (matriz U), com entradas diagonais (aproximadas a 6 dígitos) iguais a:
u_{11}=4{,}286,\qquad u_{22}=4{,}58073,\qquad u_{33}=-5{,}20368,\qquad u_{44}=-2{,}28695.

Passo 6

Cálculo do determinante a partir de U e do número de trocas.
  • Como fizemos s=2 trocas de linhas, (-1)^s = (-1)^2 = +1.
  • \det(L)=1 (diagonal de L são 1s), então
\det(A)=(-1)^s\prod_{i=1}^{4} u_{ii}= (+1)\cdot u_{11}u_{22}u_{33}u_{44}.
  • Vou multiplicar os pivôs em sequência, usando aritmética com 6 dígitos significativos a cada multiplicação (arredondando intermediários):
    • Primeiro produto: p_1 = u_{11}\cdot u_{22} = 4{,}286\cdot 4{,}58073 \approx 19{,}6330.(arredondado para 6 dígitos significativos).
    • Multiplicando pelo terceiro pivô: p_2 = p_1\cdot u_{33} \approx 19{,}6330\cdot(-5{,}20368) \approx -102{,}1639.(arredondado para 6 dígitos).
    • Multiplicando pelo quarto pivô: p_3 = p_2\cdot u_{44} \approx -102{,}1639\cdot(-2{,}28695) \approx 233{,}644(arredondado para 6 dígitos significativos).
  • Assim obtemos \det(A)\approx 233{,}644.

Resposta

\det(A)=233{,}644

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