Informações relevantes que vou usar (já fornecidas): a matriz A acima e a restrição de usar aritmética com 6 dígitos significativos (vou arredondar resultados intermediários para 6 dígitos significativos em cada operação, conforme solicitado). Não vou pedir nada a você — sigo só com esses dados.]
Passo 2
O que é a decomposição PLU e por que ela nos dá o determinante (explicação didática)?
A decomposição PLU procura matrizes P,L,U tais que
P\,A = L\,U,
onde P é uma matriz de permutação (representa trocas de linhas), L é triangular inferior com 1s na diagonal (os multiplicadores da eliminação) e U é triangular superior (a forma triangular resultante).
Propriedade útil: \det(P)=\pm 1 (cada troca de linhas muda o sinal), \det(L)=1 (por ter 1s na diagonal) e \det(U) é o produto das entradas da diagonal de U. Assim, se houve s trocas de linhas,
\det(A)=(-1)^s\prod_{i=1}^{n} u_{ii}.
Vou seguir eliminação com pivoteamento parcial (escolho a maior magnitude na coluna como pivô), armazenar as trocas para saber s, e usar aritmética com 6 dígitos significativos a cada passo.
Passo 3
Eliminação na coluna 1 (pivot na linha 1: não há troca).
Pivot \,u_{11}=4{,}286.
Calculamos os multiplicadores \,m_{21}=\dfrac{2{,}917}{4{,}286}, \,m_{31}=\dfrac{2{,}53}{4{,}286}, \,m_{41}=\dfrac{0{,}5406}{4{,}286}, arredondando para 6 dígitos significativos:
Atualizamos as linhas 2,3,4 pela operação R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1. Faço cada produto e subtração com arredondamento para 6 dígitos significativos.
Para R_2:m_{21}R_1 \approx (2{,}917,\;1{,}97015,\;3{,}14347,\;1{,}38489),
Eliminação na coluna 2 (pivot com pivoteamento parcial).
Na submatriz das linhas 2–4, as entradas da coluna 2 são 2{,}81785,\;2{,}42149,\;4{,}58073. O maior em magnitude é 4{,}58073 (linha 4). Então troco a linha 2 com a linha 4. Isso é uma troca de linhas: conto s=1 troca até agora. Depois da troca, a submatriz fica:
Eliminação na coluna 3 (pivot com pivoteamento parcial).
Na submatriz das linhas 3–4, as entradas da coluna 3 são -2{,}22323 e -5{,}20368. O maior em magnitude é -5{,}20368 (linha 4). Faço troca entre linhas 3 e 4. Conto mais uma troca: agora s=2 trocas no total (o sinal será (-1)^2=+1 no final).
Após a troca, o pivot é \,u_{33}=-5{,}20368.
Multiplicador para zerar linha 4 (nova) é
m_{43}=\dfrac{-2{,}22323}{-5{,}20368}=0{,}427332
(arredondado para 6 dígitos significativos).
Atualizamos a última linha:
m_{43}\cdot linha 3 (após troca) dá para a coluna 4 aproximadamente 0{,}38612.
Subtraindo, a última entrada na linha 4 torna-se-1{,}90083 - 0{,}38612 = -2{,}28695(arredondado para 6 dígitos).
Agora a matriz está triangular superior (matriz U), com entradas diagonais (aproximadas a 6 dígitos) iguais a:
Vou multiplicar os pivôs em sequência, usando aritmética com 6 dígitos significativos a cada multiplicação (arredondando intermediários):
Primeiro produto:p_1 = u_{11}\cdot u_{22} = 4{,}286\cdot 4{,}58073 \approx 19{,}6330.(arredondado para 6 dígitos significativos).
Multiplicando pelo terceiro pivô:p_2 = p_1\cdot u_{33} \approx 19{,}6330\cdot(-5{,}20368) \approx -102{,}1639.(arredondado para 6 dígitos).
Multiplicando pelo quarto pivô:p_3 = p_2\cdot u_{44} \approx -102{,}1639\cdot(-2{,}28695) \approx 233{,}644(arredondado para 6 dígitos significativos).