Dado o sistema:
x-3 y+z & =5 2 y+5 z & =9 2.1 x+y+z & =3
Calcule, pelo método de Gauss-Seidel, partindo de X^(0)=(0,0,0)^t, uma aproximação para X^(3) e usando o sistema de forma tal que a convergência do método esteja garantida.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver um sistema de 3 equações com 3 incógnitas usando o método de Gauss–Seidel. A gente começa de e quer chegar até . Matéria: métodos iterativos para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
  1. Garantir convergência por dominância diagonal (reordenar as equações);
  2. Colocar cada equação na forma iterativa (ex.: , , );
  3. Atualizar em cada iteração as variáveis assim que ficam prontas.

Passo 2

Primeiro a gente reordena pra ter dominância em cada linha (isso ajuda o Gauss–Seidel a convergir):
Originalmente temos
x - 3y + z = 5, 2y + 5z = 9, 2.1x + y + z = 3
Reordenando e isolando a variável do pivô em cada equação:

  1. Aqui cada coeficiente da diagonal (2.1, 3, 5) é maior que a soma dos outros da linha, garantindo convergência.

Passo 3

Escrevendo as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel (onde usamos sempre o valor mais recente disponível):
x^(k+1) &= 3 - y^(k) - z^(k)2.1, y^(k+1) &= x^(k+1) + z^(k)3 - 53, z^(k+1) &= 9 - 2,y^(k+1)5
O truque do Seidel é usar já no cálculo de , e assim por diante.

Passo 4

Iteração 1 ( x^(1) &= 3 - 0 - 02.1 = 1.4286, y^(1) &= 1.4286 + 0 - 53 = -1.1905, z^(1) &= 9 - 2(-1.1905)5 = 2.2762 , partindo de ):

Passo 5

Iteração 2 ( x^(2) &= 3 - (-1.1905) - 2.27622.1 = 0.9116, y^(2) &= 0.9116 + 2.2762 - 53 = -0.6041, z^(2) &= 9 - 2(-0.6041)5 = 2.0416 ):

Passo 6

Iteração 3 ( x^(3) &= 3 - (-0.6041) - 2.04162.1 = 0.7440, y^(3) &= 0.7440 + 2.0416 - 53 = -0.7381, z^(3) &= 9 - 2(-0.7381)5 = 2.0952 ):

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss–Seidel no passo 3 é
X^(3) approx 0.7440 -0.7381 2.0952

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