Calcule, pelo método de Gauss-Seidel, partindo de X^(0)=(0,0,0)^t, uma aproximação para X^(3) e usando o sistema de forma tal que a convergência do método esteja garantida.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente resolver um sistema de 3 equações com 3 incógnitas usando o método de Gauss–Seidel. A gente começa de e quer chegar até . Matéria: métodos iterativos para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
Garantir convergência por dominância diagonal (reordenar as equações);
Colocar cada equação na forma iterativa (ex.: , , );
Atualizar em cada iteração as variáveis assim que ficam prontas.
Passo 2
Primeiro a gente reordena pra ter dominância em cada linha (isso ajuda o Gauss–Seidel a convergir):
Originalmente temos
x - 3y + z = 5, 2y + 5z = 9, 2.1x + y + z = 3
Reordenando e isolando a variável do pivô em cada equação:
Aqui cada coeficiente da diagonal (2.1, 3, 5) é maior que a soma dos outros da linha, garantindo convergência.
Passo 3
Escrevendo as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel (onde usamos sempre o valor mais recente disponível):