Dado a tabela de valores apresentada abaixo, complete os campos das diferenças divididas.
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ORDEM 1 | ORDEM 2 | ORDEM 3 | ORDEM 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | -2 | ||||
2 | -1 | ||||
4 | 3 | ||||
6 | 7 | ||||
9 | 6 |
OBS: Escreva na forma decimal, com 4 casas de arredondamento, quando necessário.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente completar uma tabela de diferenças divididas de Newton até a ordem 4 com estes pontos:
X={0,2,4,6,9} e f(X)={−2,−1,3,7,6}.
Isso faz parte de interpolação polinomial: a ideia é construir as “diferenças”
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}
e depois estender para ordens maiores. Vamos precisar só da definição de diferença dividida e de aritmética básica.
X={0,2,4,6,9} e f(X)={−2,−1,3,7,6}.
Isso faz parte de interpolação polinomial: a ideia é construir as “diferenças”
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}
e depois estender para ordens maiores. Vamos precisar só da definição de diferença dividida e de aritmética básica.
Passo 2
Calcular as diferenças de 1ª ordem, ou seja, f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}:
- f[x_0,x_1]=\frac{-1-(-2)}{2-0}=\frac{1}{2}=0{,}5000
- f[x_1,x_2]=\frac{3-(-1)}{4-2}=\frac{4}{2}=2{,}0000
- f[x_2,x_3]=\frac{7-3}{6-4}=\frac{4}{2}=2{,}0000
- f[x_3,x_4]=\frac{6-7}{9-6}=\frac{-1}{3}\approx-0{,}3333
Passo 3
Agora as diferenças de 2ª ordem, f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}:
- f[x_0,x_1,x_2]=\frac{2{,}0000-0{,}5000}{4-0}=\frac{1{,}5000}{4}=0{,}3750
- f[x_1,x_2,x_3]=\frac{2{,}0000-2{,}0000}{6-2}=\frac{0}{4}=0{,}0000
- f[x_2,x_3,x_4]=\frac{-0{,}3333-2{,}0000}{9-4}=\frac{-2{,}3333}{5}=-0{,}4667
Passo 4
Diferenças de 3ª ordem, f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]=\frac{f[x_{i+1},\dots]-f[x_i,\dots]}{x_{i+3}-x_i}:
- f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{0{,}0000-0{,}3750}{6-0}=\frac{-0{,}3750}{6}=-0{,}0625
- f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{-0{,}4667-0{,}0000}{9-2}=\frac{-0{,}4667}{7}=-0{,}0667
Passo 5
Por fim, a diferença de 4ª ordem, f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]:
f[x_0,\dots,x_4]=\frac{-0{,}0667-(-0{,}0625)}{9-0}=\frac{-0{,}0042}{9}\approx-0{,}0005
f[x_0,\dots,x_4]=\frac{-0{,}0667-(-0{,}0625)}{9-0}=\frac{-0{,}0042}{9}\approx-0{,}0005
Resposta
X | f(X) | Ordem 1 | Ordem 2 | Ordem 3 | Ordem 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | −2 | 0,5000 | 0,3750 | −0,0625 | −0,0005 |
2 | −1 | 2,0000 | 0,0000 | −0,0667 | |
4 | 3 | 2,0000 | −0,4667 | ||
6 | 7 | −0,3333 | |||
9 | 6 |