Exercício 2. Dado o sistema linear Ax=b, onde e ,
Mostre que o Método de Gauss-Seidel é convergente.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear Ax = b, com
A = -2 & 1 & 0 1 & -2 & 1 0 & 1 & -2 , b^t = (-1,;0,;-1)
O assunto é “métodos iterativos” e, em especial, o método de Gauss–Seidel. Para mostrar que ele converge, a gente vai precisar de um resultado de teoria que diz:
  1. Se A for simétrica e positiva definida, o Gauss–Seidel converge.
  2. Se A for (estritamente) diagonalmente dominante por linhas, também converge.
Nesse exercício, vamos verificar uma dessas condições para mostrar a convergência.

Passo 2

Primeiro, repare que A é simétrica:
A^T = A
Mas seus autovalores são todos negativos (pode-se calcular ou usar a fórmula de autovalores de tridiagonais). Isso quer dizer que A é definida negativa.
Para encaixar no critério SPD (Simétrica e Positiva Definida), vamos considerar
tilde A = -A
Então
tilde A = 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 2
Note que:
  1. x^T tilde A, x = sumi=1^3 2,xi^2 ;-; 2sumi=1^2 xi,xi+1 = (x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2 + x1^2 + x3^2 > 0 é simétrica.
  2. Para toda ,
Logo, é positiva definida.

Passo 3

Como tilde A,y = -b é SPD, o método de Gauss–Seidel aplicado ao sistema
A,x = b
é convergente. Mas resolver equivale exatamente a resolver
com a mesma iteração de Gauss–Seidel (basta trocar por e por ).
Portanto, pelo teorema de convergência para matrizes SPD, o Gauss–Seidel converge para a solução de .

Resposta

O método de Gauss–Seidel é convergente porque, ao inverter o sinal de A, obtemos uma matriz que é simétrica e positiva definida. Sendo assim, satisfaz-se o critério de convergência do Gauss–Seidel.

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