Exercício 2. Dado o sistema linear , onde e ,
Mostre que o Método de Gauss-Seidel é convergente.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema linear Ax = b, com
O assunto é “métodos iterativos” e, em especial, o método de Gauss–Seidel. Para mostrar que ele converge, a gente vai precisar de um resultado de teoria que diz:
Se A for simétrica e positiva definida, o Gauss–Seidel converge.
Se A for (estritamente) diagonalmente dominante por linhas, também converge.
Nesse exercício, vamos verificar uma dessas condições para mostrar a convergência.
Passo 2
Primeiro, repare que A é simétrica:
A^T = A
Mas seus autovalores são todos negativos (pode-se calcular ou usar a fórmula de autovalores de tridiagonais). Isso quer dizer que A é definida negativa.
Para encaixar no critério SPD (Simétrica e Positiva Definida), vamos considerar
tilde A = -A
Então
tilde A = 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 2
Note que:
x^T tilde A, x = sumi=1^3 2,xi^2 ;-; 2sumi=1^2 xi,xi+1 = (x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2 + x1^2 + x3^2 > 0 é simétrica.
Para toda ,
Logo, é positiva definida.
Passo 3
Como tilde A,y = -b é SPD, o método de Gauss–Seidel aplicado ao sistema
A,x = b
é convergente. Mas resolver equivale exatamente a resolver
com a mesma iteração de Gauss–Seidel (basta trocar por e por ).
Portanto, pelo teorema de convergência para matrizes SPD, o Gauss–Seidel converge para a solução de .
Resposta
O método de Gauss–Seidel é convergente porque, ao inverter o sinal de A, obtemos uma matriz que é simétrica e positiva definida. Sendo assim, satisfaz-se o critério de convergência do Gauss–Seidel.