Dados 3 conjuntos A, B e C, sabemos que:
i. Todo elemento de C também está em B
ii. 1 / 3 dos elementos de C também estão em A
iii. metade dos elementos de B também estão em A
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi. B tem 60 elementos
Quantos elementos estão somente em B ?

Passo 1

Beleza, o problema fala de três conjuntos A, B e C e diz várias relações entre quantos elementos estão em cada interseção. A ideia é usar teoria de conjuntos e diagrama de Venn pra montar equações e achar quantos estão só em B. A matéria envolvida é:
  • Diagramas de Venn para 3 conjuntos
  • Contagem de elementos em subconjuntos (inclusão-exclusão de forma “regionada”)

Passo 2

Primeiro a gente marca as 7 regiões de um diagrama de Venn pra A, B e C:
xA: só em A
xB: só em B
xC: só em C
xAB: em A e B mas não em C
xAC: em A e C mas não em B
xBC: em B e C mas não em A
xABC: em A, B e C ao mesmo tempo
Então o total de C é xC+xAC+xBC+xABC, o total de B é xB+xAB+xBC+xABC, etc.

Passo 3

Pela condição (i) “todo elemento de C também está em B”, vale Csubseteq B. Isso faz duas regiões nulas:
xC=0e xAC=0
porque não pode ter coisa só em C, e não pode ter coisa em A∩C sem estar em B.

Passo 4

Condição (ii): “1/3 dos elementos de C estão em A”.
Em C, as regiões que modelam interseção com A são xAC+xABC, mas xAC=0, sobrando só xABC=10 (da vi). Então
xABC;=;13,|C|Longrightarrow 10=13,(xBC+10)
Resolvendo: 30=xBC+10;Rightarrow;xBC=20.

Passo 5

Condição (iii): “metade dos elementos de B estão em A”.
Em B∩A temos xAB+xABC, e B tem 60 elementos, então
xAB+10=tfrac12cdot60=30Longrightarrow xAB=20

Passo 6

Agora a condição (vi) diz “B tem 60 elementos”, mas a gente já usou isso indiretamente pra achar xAB. Pra achar xB (“só em B”) é só olhar:
xB + xAB + xBC + xABC =60
xB + 20 + 20 +10 =60;Longrightarrow;xB=60-50=10

Passo 7

(A gente podia usar a condição (iv) como checagem: “2/3 do total dos elementos dos três conjuntos estão em A” leva a outra equação que confirma xA=30, mas pra pergunta “só em B” já basta o que fizemos.)

Resposta

10 elementos estão somente em B.

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