Dados 3 conjuntos
e
, sabemos que:
i. Todo elemento de
também está em
ii.
dos elementos de
também estão em
iii. metade dos elementos de
também estão em
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
tem 60 elementos
Quantos elementos estão somente em
?
i. Todo elemento de
ii.
iii. metade dos elementos de
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
Quantos elementos estão somente em
Passo 1
Beleza, o problema fala de três conjuntos A, B e C e diz várias relações entre quantos elementos estão em cada interseção. A ideia é usar teoria de conjuntos e diagrama de Venn pra montar equações e achar quantos estão só em B. A matéria envolvida é:
- Diagramas de Venn para 3 conjuntos
- Contagem de elementos em subconjuntos (inclusão-exclusão de forma “regionada”)
Passo 2
Primeiro a gente marca as 7 regiões de um diagrama de Venn pra A, B e C:
– : só em A
– : só em B
– : só em C
– : em A e B mas não em C
– : em A e C mas não em B
– : em B e C mas não em A
– : em A, B e C ao mesmo tempo
–
–
–
–
–
–
–
Então o total de C é
, o total de B é
, etc.
Passo 3
Pela condição (i) “todo elemento de C também está em B”, vale
. Isso faz duas regiões nulas:
porque não pode ter coisa só em C, e não pode ter coisa em A∩C sem estar em B.
Passo 4
Condição (ii): “1/3 dos elementos de C estão em A”.
Em C, as regiões que modelam interseção com A são , mas
, sobrando só
(da vi). Então
Em C, as regiões que modelam interseção com A são
Resolvendo:
Passo 5
Condição (iii): “metade dos elementos de B estão em A”.
Em B∩A temos , e B tem 60 elementos, então
Em B∩A temos
Passo 6
Agora a condição (vi) diz “B tem 60 elementos”, mas a gente já usou isso indiretamente pra achar
. Pra achar
(“só em B”) é só olhar:
Passo 7
(A gente podia usar a condição (iv) como checagem: “2/3 do total dos elementos dos três conjuntos estão em A” leva a outra equação que confirma
, mas pra pergunta “só em B” já basta o que fizemos.)
Resposta
10 elementos estão somente em B.