Dados 3 conjuntos A, B e C, sabemos que:
i. Todo elemento de C também está em B
ii. 1 / 3 dos elementos de C também estão em A
iii. metade dos elementos de B também estão em A
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi. B tem 60 elementos
Quantos elementos estão em B cap A ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o enunciado diz e ver o que precisamos usar.
Temos três conjuntos A, B e C e vários dados sobre quantos elementos eles têm em interseção e inclusão.
Conteúdo: teoria de conjuntos (interseções, subconjuntos e contagem de elementos) e a fórmula da união.
O que vamos precisar:
  • Traduzir “i” a “vi” em fórmulas com |X| (cardinalidade).
  • Usar que C ⊆ B, então tudo em C tá em B.
  • Explorar razão de elementos (1/3, 1/2 etc.)
  • Usar o dado de 10 na interseção tripla.
    No fim, queremos |A ∩ B|.

Passo 2

Primeiro, vamos passar cada item para uma expressão:
i. C ⊆ B ⇒ |B ∩ C| = |C|
ii. 1/3 dos de C estão em A ⇒ |A ∩ C| = (1/3)·|C|
iii. metade dos de B estão em A ⇒ |A ∩ B| = (1/2)·|B|
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A. Aqui “total” é a união, então
|A| = (2/3)·|A ∪ B ∪ C|
v. 10 elementos estão nos três ao mesmo tempo ⇒ |A ∩ B ∩ C| = 10
vi. |B| = 60

Passo 3

Como C ⊆ B, a interseção tripla A∩B∩C é igual a A∩C. Então de (ii) e (v):
|A ∩ C| = (1/3)·|C| e |A ∩ C| = 10
Logo
(1/3)·|C| = 10
→ |C| = 30

Passo 4

Agora usa iii:
|A ∩ B| = (1/2)·|B| = (1/2)·60 = 30

Resposta

30 elementos estão em B ∩ A.

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