Dados 3 conjuntos
e
, sabemos que:
i. Todo elemento de
também está em
ii.
dos elementos de
também estão em
iii. metade dos elementos de
também estão em
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
tem 60 elementos
Quantos elementos estão em
?
i. Todo elemento de
ii.
iii. metade dos elementos de
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
Quantos elementos estão em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma resumida no que o enunciado diz e ver o que precisamos usar.
Temos três conjuntos A, B e C e vários dados sobre quantos elementos eles têm em interseção e inclusão.
Conteúdo: teoria de conjuntos (interseções, subconjuntos e contagem de elementos) e a fórmula da união.
O que vamos precisar:
Temos três conjuntos A, B e C e vários dados sobre quantos elementos eles têm em interseção e inclusão.
Conteúdo: teoria de conjuntos (interseções, subconjuntos e contagem de elementos) e a fórmula da união.
O que vamos precisar:
- Traduzir “i” a “vi” em fórmulas com |X| (cardinalidade).
- Usar que C ⊆ B, então tudo em C tá em B.
- Explorar razão de elementos (1/3, 1/2 etc.)
- Usar o dado de 10 na interseção tripla.
No fim, queremos |A ∩ B|.
Passo 2
Primeiro, vamos passar cada item para uma expressão:
i. C ⊆ B ⇒ |B ∩ C| = |C|
ii. 1/3 dos de C estão em A ⇒ |A ∩ C| = (1/3)·|C|
iii. metade dos de B estão em A ⇒ |A ∩ B| = (1/2)·|B|
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A. Aqui “total” é a união, então
|A| = (2/3)·|A ∪ B ∪ C|
v. 10 elementos estão nos três ao mesmo tempo ⇒ |A ∩ B ∩ C| = 10
vi. |B| = 60
i. C ⊆ B ⇒ |B ∩ C| = |C|
ii. 1/3 dos de C estão em A ⇒ |A ∩ C| = (1/3)·|C|
iii. metade dos de B estão em A ⇒ |A ∩ B| = (1/2)·|B|
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A. Aqui “total” é a união, então
|A| = (2/3)·|A ∪ B ∪ C|
v. 10 elementos estão nos três ao mesmo tempo ⇒ |A ∩ B ∩ C| = 10
vi. |B| = 60
Passo 3
Como C ⊆ B, a interseção tripla A∩B∩C é igual a A∩C. Então de (ii) e (v):
|A ∩ C| = (1/3)·|C| e |A ∩ C| = 10
Logo
(1/3)·|C| = 10
→ |C| = 30
|A ∩ C| = (1/3)·|C| e |A ∩ C| = 10
Logo
(1/3)·|C| = 10
→ |C| = 30
Passo 4
Agora usa iii:
|A ∩ B| = (1/2)·|B| = (1/2)·60 = 30
|A ∩ B| = (1/2)·|B| = (1/2)·60 = 30
Resposta
30 elementos estão em B ∩ A.