Dados 3 conjuntos
e
, sabemos que:
i. Todo elemento de
também está em
ii.
dos elementos de
também estão em
iii. metade dos elementos de
também estão em
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
tem 60 elementos
Quantos elementos estão somente em
?
i. Todo elemento de
ii.
iii. metade dos elementos de
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
Quantos elementos estão somente em
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo quantos elementos estão só em A, dado que temos três conjuntos A, B e C e várias informações de interseção e tamanhos. O conteúdo é “Princípio da Inclusão-Exclusão” e também “razões entre cardinalidades”.
Para resolver a gente vai:
Para resolver a gente vai:
- Definir variáveis para |A|, |B|, |C| e para as interseções.
- Traduzir cada item em equação.
- Usar o princípio da inclusão-exclusão pra achar |A ∪ B ∪ C|.
- Usar a relação “2/3 do total dos três conjuntos está em A” (i.e. |A| = 2/3·|A ∪ B ∪ C|).
- Montar a expressão de elementos “só em A” a partir das interseções.
A partir do próximo passo a gente faz tudo na boa, explicando cada pedacinho.
Passo 2
Vamos chamar:
- |A| = a
- |B| = 60 (dado)
- |C| = c
- |A ∩ B| = ½·|B| = 30 (item iii)
- |A ∩ C| = (1/3)·|C| = c/3 (item ii)
- |B ∩ C| = |C| = c (item i, todo C está em B)
- |A ∩ B ∩ C| = 10 (item v)
Passo 3
Aplicando o princípio da inclusão-exclusão para a união:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Substituindo:
|A ∪ B ∪ C| = a + 60 + c – 30 – (c/3) – c + 10
= a + (60 – 30 + 10) – c/3 – c
= a + 40 – (4c/3)
|A ∪ B ∪ C| = a + 60 + c – 30 – (c/3) – c + 10
= a + (60 – 30 + 10) – c/3 – c
= a + 40 – (4c/3)
Passo 4
O enunciado diz que “2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A”, ou seja:
Logo:
a = (2/3)·[ a + 40 – (4c/3) ]
Multiplicando por 3:
3a = 2[a + 40 – 4c/3] = 2a + 80 – (8c/3)
Passando 2a pro lado esquerdo:
a = 80 – \tfrac{8c}{3}
a = (2/3)·[ a + 40 – (4c/3) ]
Multiplicando por 3:
3a = 2[a + 40 – 4c/3] = 2a + 80 – (8c/3)
Passando 2a pro lado esquerdo:
a = 80 – \tfrac{8c}{3}
Passo 5
Agora, “só em A” é
|A| – |A ∩ B| – |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|,
porque subtraímos quem está em A∩B e em A∩C (o triplo saiu duas vezes, então a gente soma de volta).
Então:
Só em A = a – 30 – (c/3) + 10
= a – 20 – (c/3)
|A| – |A ∩ B| – |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|,
porque subtraímos quem está em A∩B e em A∩C (o triplo saiu duas vezes, então a gente soma de volta).
Então:
Só em A = a – 30 – (c/3) + 10
= a – 20 – (c/3)
Mas a gente já tem a em função de c: a = 80 – (8c/3). Substituindo:
Só em A = [80 – (8c/3)] – 20 – (c/3)
= 60 – (8c/3 + c/3)
= 60 – (9c/3)
= 60 – 3c
Só em A = [80 – (8c/3)] – 20 – (c/3)
= 60 – (8c/3 + c/3)
= 60 – (9c/3)
= 60 – 3c
Resposta
O número de elementos que estão só em A é
Em outras palavras, em função de |C| a resposta fica
.