Dados 3 conjuntos A, B e C, sabemos que:
i. Todo elemento de C também está em B
ii. 1 / 3 dos elementos de C também estão em A
iii. metade dos elementos de B também estão em A
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi. B tem 60 elementos
Quantos elementos estão somente em A ?

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo quantos elementos estão em A, dado que temos três conjuntos A, B e C e várias informações de interseção e tamanhos. O conteúdo é “Princípio da Inclusão-Exclusão” e também “razões entre cardinalidades”.
Para resolver a gente vai:
  1. Definir variáveis para |A|, |B|, |C| e para as interseções.
  2. Traduzir cada item em equação.
  3. Usar o princípio da inclusão-exclusão pra achar |A ∪ B ∪ C|.
  4. Usar a relação “2/3 do total dos três conjuntos está em A” (i.e. |A| = 2/3·|A ∪ B ∪ C|).
  5. Montar a expressão de elementos “só em A” a partir das interseções.
A partir do próximo passo a gente faz tudo na boa, explicando cada pedacinho.

Passo 2

Vamos chamar:
  • |A| = a
  • |B| = 60 (dado)
  • |C| = c
  • |A ∩ B| = ½·|B| = 30 (item iii)
  • |A ∩ C| = (1/3)·|C| = c/3 (item ii)
  • |B ∩ C| = |C| = c (item i, todo C está em B)
  • |A ∩ B ∩ C| = 10 (item v)

Passo 3

Aplicando o princípio da inclusão-exclusão para a união:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Substituindo:
|A ∪ B ∪ C| = a + 60 + c – 30 – (c/3) – c + 10
= a + (60 – 30 + 10) – c/3 – c
= a + 40 – (4c/3)

Passo 4

O enunciado diz que “2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A”, ou seja:
a ;=;tfrac23,|Acup Bcup C|,
Logo:
a = (2/3)·[ a + 40 – (4c/3) ]
Multiplicando por 3:
3a = 2[a + 40 – 4c/3] = 2a + 80 – (8c/3)
Passando 2a pro lado esquerdo:
a = 80 – \tfrac{8c}{3}

Passo 5

Agora, “só em A” é
|A| – |A ∩ B| – |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|,
porque subtraímos quem está em A∩B e em A∩C (o triplo saiu duas vezes, então a gente soma de volta).
Então:
Só em A = a – 30 – (c/3) + 10
= a – 20 – (c/3)
Mas a gente já tem a em função de c: a = 80 – (8c/3). Substituindo:
Só em A = [80 – (8c/3)] – 20 – (c/3)
= 60 – (8c/3 + c/3)
= 60 – (9c/3)
= 60 – 3c

Resposta

O número de elementos que estão em A é
boxed60 - 3,|C|,
Em outras palavras, em função de |C| a resposta fica .

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