Dados 3 conjuntos A, B e C, sabemos que:
i. Todo elemento de C também está em B
ii. 1 / 3 dos elementos de C também estão em A
iii. metade dos elementos de B também estão em A
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi. B tem 60 elementos
Quantos elementos têm cada um dos conjuntos, A, B e C ?

Passo 1

Beleza, a questão é de teoria de conjuntos (interseções, união e inclusão–exclusão). Temos três conjuntos e as infos:
  1. .
  2. dos elementos de estão em .
  3. Metade de está em .
  4. do total dos elementos dos três conjuntos estão em .
  5. 10 elementos estão em .
  6. .
O que vamos precisar: noções de interseção, união e princípio da inclusão–exclusão, além de montar equações e resolver.

Passo 2

Como |Acap C| = 13,|C| , qualquer interseção envolvendo 13,|C| = 10 Longrightarrow |C| = 30 e é só .
  • Sabemos que de está em , isto é
Mas, por , , e isso vale 10 elementos. Então

Passo 3

Agora, metade dos elementos de |Acap B| = 12,|B| = 12cdot 60 = 30 estão em :
Desse total de 30 em , já sabemos que 10 são da interseção tripla . O restante ( ) são só em , mas sem . Isso não precisamos numerar separadamente, só confirma consistência.

Passo 4

Agora usamos o princípio da inclusão–exclusão para achar o total da união |Acup Bcup C| = |A|+|B|+|C| - |Acap B| - |Acap C| - |Bcap C| + |Acap Bcap C| . A fórmula geral é
|Acup Bcup C| = |A| + 60 + 30 - 30 - 10 - 30 + 10 = |A| + 30
Substituindo o que já temos ( ):

Passo 5

A condição 4 diz que |A| = 23,|Acup Bcup C| = 23,(|A|+30) do total dos elementos (ou seja, da união) está em |A| = tfrac23,|A| + tfrac23cdot30 Longrightarrow |A| - tfrac23,|A| = 20 Longrightarrow tfrac13,|A| = 20 Longrightarrow |A| = 60 :
É só resolver para :

Resposta

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