Dados 3 conjuntos
e
, sabemos que:
i. Todo elemento de
também está em
ii.
dos elementos de
também estão em
iii. metade dos elementos de
também estão em
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
tem 60 elementos
Quantos elementos têm cada um dos conjuntos,
e
?
i. Todo elemento de
ii.
iii. metade dos elementos de
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
Quantos elementos têm cada um dos conjuntos,
Passo 1
Beleza, a questão é de teoria de conjuntos (interseções, união e inclusão–exclusão). Temos três conjuntos
e as infos:
-
. -
dos elementos de estão em . - Metade de
está em . -
do total dos elementos dos três conjuntos estão em . - 10 elementos estão em
. -
.
O que vamos precisar: noções de interseção, união e princípio da inclusão–exclusão, além de montar equações e resolver.
Passo 2
Como
, qualquer interseção envolvendo
e
é só
.
- Sabemos que
de está em , isto é
Mas, por
,
, e isso vale 10 elementos. Então
Passo 3
Agora, metade dos elementos de
estão em
:
Desse total de 30 em
, já sabemos que 10 são da interseção tripla
. O restante (
) são só em
, mas sem
. Isso não precisamos numerar separadamente, só confirma consistência.
Passo 4
Agora usamos o princípio da inclusão–exclusão para achar o total da união
. A fórmula geral é
Substituindo o que já temos (
):
Passo 5
A condição 4 diz que
do total dos elementos (ou seja, da união) está em
:
É só resolver para
: