Duas forças são R_{1}=10500 \mathrm{~N} e R_{2}=10499 \mathrm{~N}.
  1. Calcule R_{1}-R_{2} em precisão simples ( 7 dígitos).
  2. Mostre a perda de significância.

Passo 1

O enunciado dá duas forças: \,R_{1}=10500\\ \mathrm{N}\, e \,R_{2}=10499\\ \mathrm{N}\,. Precisa-se:
  1. Calcular \,R_{1}-R_{2}\, usando precisão simples com 7 dígitos significativos.
  2. Mostrar a perda de significância ocorrida na subtração.
    Informações importantes extraídas do enunciado: os valores numéricos de \,R_{1}\, e \,R_{2}\, e a exigência de usar representação com 7 dígitos significativos (precisão simples, em decimal).

Passo 2

O que significa “precisão simples (7 dígitos)” e como vamos representar números:
  • Vamos usar representação normalizada decimal do tipo mantissa × potência de 10, com a mantissa contendo 7 dígitos significativos.
  • Isso quer dizer que um número será escrito como \,m\times10^{k}\, com 1\le m<10 e m com 7 algarismos.
  • A menor variação na mantissa é 10^{-6} (porque, contando o dígito antes do ponto, teremos 7 dígitos), então a menor variação no valor é essa variação multiplicada pela potência de 10 correspondente (isto é o “ulp” para esse expoente). Vou aplicar isso aos números dados.

Passo 3

Escrevendo \,R_{1}\, e \,R_{2}\, na forma normalizada com 7 dígitos (peguei os valores diretamente do enunciado):
R_{1}=10500 = 1{,}050000\times10^{4}
R_{2}=10499 = 1{,}049900\times10^{4}
Aqui escrevi explicitamente 7 dígitos na mantissa: para \,10500 a mantissa ficou 1{,}050000 e para \,10499 ficou 1{,}049900.

Passo 4

Subtração na forma normalizada (fazendo a operação na mantissa, porque os expoentes são iguais):
1{,}050000\times10^{4} - 1{,}049900\times10^{4} = (1{,}050000 - 1{,}049900)\times10^{4}
Calcule a diferença das mantissas:
1{,}050000 - 1{,}049900 = 0{,}000100
Portanto
(R_{1}-R_{2}) = 0{,}000100\times10^{4}.
Normalizando esse resultado (precisamos a mantissa entre 1 e 10):
0{,}000100\times10^{4} = 1{,}000000\times10^{0} = 1{,}000000.
Usando 7 dígitos na mantissa, o resultado é \,1{,}000000\times10^{0}\,, isto é exatamente \,1{,}0\\ \mathrm{N}\,.

Passo 5

Agora a perda de significância — explicação didática e cálculo:
  • Quando subtraímos números próximos e grandes, os dígitos mais significativos das mantissas se cancelam, sobrando só os dígitos menos significativos: isso é a “perda de significância” (ou cancelamento catastrófico).
  • Uma forma de estimar quantos dígitos foram perdidos é ver a razão entre o tamanho dos operandos e o tamanho da diferença:
\frac{|R_{1}|}{|R_{1}-R_{2}|}=\frac{10500}{1}=10500.
O logaritmo decimal dá a ordem de grandeza perdida:
\log_{10}(10500)\approx 4{,}02,
ou seja, cerca de 4 dígitos de ordem de grandeza são cancelados. Com precisão inicial de 7 dígitos, isso sugere que restam aproximadamente 7-4\approx 3 dígitos significativos na melhor estimativa grosseira.
  • Um cálculo mais direto usando o “ulp” (unidade no último lugar) na representação que usamos: com mantissa de 7 dígitos e expoente 10^{4}, o menor incremento na mantissa é 10^{-6}, então
\mathrm{ulp} = 10^{-6}\times10^{4}=10^{-2}=0{,}01.
Cada operando pode ter erro de arredondamento até metade do ulp: \pm0{,}005. Na subtração esses erros podem somar, dando erro absoluto máximo aproximado \pm0{,}01. Portanto o resultado calculado 1{,}0 tem uma incerteza da ordem de 0{,}01, isto é erro relativo
\frac{0{,}01}{1}=0{,}01 = 1\%,
o que corresponde a cerca de -\log_{10}(0{,}01)=2 dígitos decimais confiáveis. Ou seja, por essa estimativa prática o resultado tem cerca de 2 dígitos significativos confiáveis.
  • Resumindo os dois pontos de vista: pelo logaritmo da razão obtivemos perda de cerca de 4 dígitos (restando ~3), e pela análise de ulp/erros de arredondamento obtivemos que o resultado prático tem cerca de 2 dígitos significativos. Esses dois valores são compatíveis em ordem de grandeza: há perda de vários dígitos (entre 4 e 5 dígitos perdidos da precisão original), ficando apenas poucos dígitos confiáveis no resultado final.

Resposta

R_{1}-R_{2}=1\\ \mathrm{N}
Perda de significância: aproximadamente 4 5 dígitos (o resultado conserva algo como 2 a 3 dígitos significativos; estimativa prática usando ulp dá cerca de 2 dígitos confiáveis).

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