Duas forças são
e
.
- Calcule
em precisão simples ( 7 dígitos).
- Mostre a perda de significância.
Passo 1
O enunciado dá duas forças:
e
. Precisa-se:
- Calcular
usando precisão simples com 7 dígitos significativos. - Mostrar a perda de significância ocorrida na subtração.
Informações importantes extraídas do enunciado: os valores numéricos dee e a exigência de usar representação com 7 dígitos significativos (precisão simples, em decimal).
Passo 2
O que significa “precisão simples (7 dígitos)” e como vamos representar números:
- Vamos usar representação normalizada decimal do tipo mantissa × potência de 10, com a mantissa contendo 7 dígitos significativos.
- Isso quer dizer que um número será escrito como
com e com 7 algarismos. - A menor variação na mantissa é
(porque, contando o dígito antes do ponto, teremos 7 dígitos), então a menor variação no valor é essa variação multiplicada pela potência de 10 correspondente (isto é o “ulp” para esse expoente). Vou aplicar isso aos números dados.
Passo 3
Escrevendo
e
na forma normalizada com 7 dígitos (peguei os valores diretamente do enunciado):
Aqui escrevi explicitamente 7 dígitos na mantissa: para
a mantissa ficou
e para
ficou
.
Passo 4
Subtração na forma normalizada (fazendo a operação na mantissa, porque os expoentes são iguais):
Calcule a diferença das mantissas:
Portanto
Normalizando esse resultado (precisamos a mantissa entre 1 e 10):
Usando 7 dígitos na mantissa, o resultado é
, isto é exatamente
.
Passo 5
Agora a perda de significância — explicação didática e cálculo:
- Quando subtraímos números próximos e grandes, os dígitos mais significativos das mantissas se cancelam, sobrando só os dígitos menos significativos: isso é a “perda de significância” (ou cancelamento catastrófico).
- Uma forma de estimar quantos dígitos foram perdidos é ver a razão entre o tamanho dos operandos e o tamanho da diferença:
O logaritmo decimal dá a ordem de grandeza perdida:
ou seja, cerca de
dígitos de ordem de grandeza são cancelados. Com precisão inicial de
dígitos, isso sugere que restam aproximadamente
dígitos significativos na melhor estimativa grosseira.
- Um cálculo mais direto usando o “ulp” (unidade no último lugar) na representação que usamos: com mantissa de 7 dígitos e expoente
, o menor incremento na mantissa é , então
Cada operando pode ter erro de arredondamento até metade do ulp:
. Na subtração esses erros podem somar, dando erro absoluto máximo aproximado
. Portanto o resultado calculado
tem uma incerteza da ordem de
, isto é erro relativo
o que corresponde a cerca de
dígitos decimais confiáveis. Ou seja, por essa estimativa prática o resultado tem cerca de 2 dígitos significativos confiáveis.
- Resumindo os dois pontos de vista: pelo logaritmo da razão obtivemos perda de cerca de 4 dígitos (restando ~3), e pela análise de ulp/erros de arredondamento obtivemos que o resultado prático tem cerca de 2 dígitos significativos. Esses dois valores são compatíveis em ordem de grandeza: há perda de vários dígitos (entre 4 e 5 dígitos perdidos da precisão original), ficando apenas poucos dígitos confiáveis no resultado final.
Resposta
Perda de significância: aproximadamente