Dados os seguintes pontos de uma função y=f(x)
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.78 2.04 3.71 4.11 3.89
determine, pelos seguintes métodos, um valor aproximado da integral \int_{0}^{4} f(x) d x.
polinômio que interpola aqueles pontos.

Passo 1

Temos os pontos equiespaçados em x=0,1,2,3,4 da função f e queremos aproximar
\int_{0}^{4}f(x)\,dx
pelo polinômio interpolador de grau 4 que passa por esses cinco pontos. Para integrar esse polinômio sem construir seus coeficientes, usamos a regra de Newton–Cotes fechada de ordem 4 (regra de Boole), que é exata para polinômios de até grau 5.

Passo 2

Denotando o espaçamento por h=1, a regra de Boole para \int_{0}^{4}f(x)\,dx é
\int_{0}^{4}f(x)\,dx \approx \frac{2h}{45}\bigl[7f(0)+32f(1)+12f(2)+32f(3)+7f(4)\bigr].

Passo 3

Substituindo h=1 e os valores dados:
7f(0)=7\cdot0{,}78=5{,}46, \quad 32f(1)=32\cdot2{,}04=65{,}28,
12f(2)=12\cdot3{,}71=44{,}52, \quad 32f(3)=32\cdot4{,}11=131{,}52, \quad 7f(4)=7\cdot3{,}89=27{,}23.
Somando:
5{,}46+65{,}28+44{,}52+131{,}52+27{,}23=274{,}01.
Então
\int_{0}^{4}f(x)\,dx \approx \frac{2\cdot1}{45}\times274{,}01 =\frac{548{,}02}{45}\approx12{,}18.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{4}f(x)\,dx\approx12{,}18

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