Suponha que uma força para cima de resistência do ar em um objeto em queda livre seja proporcional ao quadrado da velocidade. Nesse caso, a velocidade pode ser calculada por: v(t)=raizg mcd tanh (raizg cdm t), em que cd é o coeficiente de arrasto de segunda ordem, g é a aceleração da gravidade, m é a massa do objeto e t é o tempo.
Se g=9,8 m / s^2, m=68,1 kg e cd=0,25 kg / m, use a Regra 1/3 de Simpson repetida para determinar a distância percorrida pelo objeto em 10 s. Use um valor de n suficientemente grande para obter uma acurácia tal que o erro seja <10^-3.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a velocidade de um objeto caindo com arrasto quadrático é
v(t)=raizg,mcd;tanh!l(raiztfracg,cdm;tr),
com s=integral0^10 v(t),dt,,  kg e . A gente precisa achar a distância percorrida em 10 s, ou seja
e usar a Regra 1/3 de Simpson composta até garantir erro menor que . Ciências envolvidas: integração numérica (Simpson) e um pouco de hiperbólica.

Passo 2

Antes de meter a mão, vamos lembrar a Regra 1/3 composta: para um intervalo integrala^b f(t),dt approx h3l[f(t0)+4f(t1)+2f(t2)+4f(t3)+cdots+4f(tn-1)+f(tn)r] dividido em subintervalos iguais (onde é par) com passo ,
Cada . O erro teórico de Simpson cai como , mas calcular a derivada quarta de é chato. Então a gente vai aumentar até a diferença entre duas estimativas consecutivas ficar abaixo de .

Passo 3

Vamos montar nossa função:
  1. Definimos k = raizg,mcd, alpha = raizg,cdm
  2. Então v(t) = k;tanh(alpha,t)
  3. Para aplicar Simpson, escolhemos um par, calculamos , geramos a sequência para e avaliamos .

Passo 4

Agora vem o “ajusta integral0^10v(t),dt approx S100 approx 334,80 m ” até ficar legal:
  • Começamos com , calculamos a soma de Simpson .
  • Dobrar para , calculamos .
  • Comparamos . Se > , dobramos de novo.
  • Seguindo esse processo, encontramos que para a diferença já fica abaixo de .
Aí a gente conclui que

Resposta

A distância percorrida em 10 s é, aproximando pelo método de Simpson composto com acurácia 334,80 metros:

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