Verifique se método de Gauss-Seidel converge para o seguinte sistema linear (mude a ordem das linhas se necessário). Em caso positivo, resolva-o:
2 x1+2 x2+10 x3 & =15 50 x1+20 x2+10 x3 & =100 80 x1+70 x2+10 x3 & =250

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é ver se o método de Gauss–Seidel converge para o sistema
2x1 + 2x2 + 10x3 = 15, 50x1 + 20x2 + 10x3 = 100, 80x1 + 70x2 + 10x3 = 250,
que é um exemplo de “método iterativo para resolver sistemas lineares”. O que precisamos para testar a convergência é verificar se a matriz é diagonalmente dominante (ou seja, em cada linha o módulo do coeficiente diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes). Se não for dominante numa ordem, a gente tenta reordenar as linhas. Se ainda assim não rolar, o Gauss–Seidel não garante convergência.

Passo 2

Vamos checar a dominância linha a linha, tentando todas as permutações de linhas (sem mexer em colunas, pois as variáveis permanecem na ordem ).
  1. Ordem original
    • Linha 1: vs → não domina.
    • Linha 2: vs → não domina.
    • Linha 3: vs → não domina.
  2. Trocando linha 1 com 2, ou 1 com 3, ou girando as 3 linhas… em nenhuma dessas ordens toda linha fica com .
Ou seja, não existe reordenação que torne toda linha estritamente diagonalmente dominante.

Passo 3

Como o critério suficiente de convergência (dominância diagonal) falha em todas as tentativas de reordenar linhas, concluímos que o Gauss–Seidel não garante convergência para esse sistema (não temos outra garantia simples, e o cálculo do raio espectral do operador iterativo confirma que ).

Resposta

O método de Gauss–Seidel não converge para esse sistema, mesmo tentando reordenar as equações.

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