Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial e precisão .
Passo 1
Beleza, a questão pede pra usar o método de Gauss–Seidel num sistema 3×3
x + 2y - z = 2, 2x - y + 2z = 3, x - y + 4z = 4,
com chute inicial e precisão .
Conteúdo: métodos iterativos para resolver sistemas lineares, em especial Gauss–Seidel, e critério de convergência (dominância diagonal ou matriz SPD).
Passo 2
Antes de iterar, a gente faz o “estudo de convergência”. O teorema básico diz que Gauss–Seidel converge se a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 2 1 & -1 & 4
for estritamente diagonalmente dominante em cada linha (ou for simétrica e definida positiva).
– Linha 1: e ;; 1 < 3 → não domina.
– Linha 2: e ;; 1 < 4 → não domina.
– Linha 3: e ;; 4 > 2 → só aqui domina.
Como não dá dominância diagonal em todas as linhas, e não é simétrica definida positiva, o método de Gauss–Seidel NÃO satisfaz o critério de convergência garantida.
Passo 3
Se a gente tenta iterar mesmo assim, vai ver que as aproximações explodem (os valores crescem em vez de se estabilizar). Ou seja, não há convergência para qualquer .
Resposta
O método de Gauss–Seidel não converge para esse sistema (a matriz não é estritamente diagonalmente dominante nem SPD), logo não existe aproximação com .