Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada barx usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^(0)=[lll0 & 0 & 0]^T e precisão varepsilon=10^-2.
cx+2 y-z=2 2 x-y+2 z=3 x-y+4 z=4

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar o método de Gauss–Seidel num sistema 3×3
x + 2y - z = 2, 2x - y + 2z = 3, x - y + 4z = 4,
com chute inicial e precisão .
Conteúdo: métodos iterativos para resolver sistemas lineares, em especial Gauss–Seidel, e critério de convergência (dominância diagonal ou matriz SPD).

Passo 2

Antes de iterar, a gente faz o “estudo de convergência”. O teorema básico diz que Gauss–Seidel converge se a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 2 1 & -1 & 4
for estritamente diagonalmente dominante em cada linha (ou for simétrica e definida positiva).
– Linha 1: e ;; 1 < 3 → não domina.
– Linha 2: e ;; 1 < 4 → não domina.
– Linha 3: e ;; 4 > 2 → só aqui domina.
Como não dá dominância diagonal em todas as linhas, e não é simétrica definida positiva, o método de Gauss–Seidel NÃO satisfaz o critério de convergência garantida.

Passo 3

Se a gente tenta iterar mesmo assim, vai ver que as aproximações explodem (os valores crescem em vez de se estabilizar). Ou seja, não há convergência para qualquer .

Resposta

O método de Gauss–Seidel não converge para esse sistema (a matriz não é estritamente diagonalmente dominante nem SPD), logo não existe aproximação com .

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