Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente resolver o sistema
usando dois métodos: eliminação de Gauss e decomposição LU.
Para isso a gente vai precisar entender:
Para isso a gente vai precisar entender:
- Como fazer operações elementares em linhas da matriz aumentada (Gauss).
- Como fatorar
em (triangular inferior) e (triangular superior) e depois resolver e .
Passo 2
Método da eliminação de Gauss
- Monta a matriz aumentada
:1 & 2 & -1 & mid & -1 2 & -1 & 2 & mid & 6 1 & -1 & 4 & mid & 9
- Queremos zerar abaixo do pivô (que é o 1 na posição (1,1)).
- Nova linha 2
:R3 = (1,-1,4mid9) - (1,2,-1mid-1) = (0,-3,5mid10)
- Nova linha 3
:
Agora a matriz é
Passo 3
Continuando Gauss
3) Pivô na posição (2,2) vale R3 R3 - -3-5,R2 = (0,-3,5mid10) - 35(0,-5,4mid8) = (0,0,tfrac135mid tfrac265) . Vamos zerar abaixo:
3) Pivô na posição (2,2) vale
Agora a matriz triangular superior é
Passo 4
Back-substitution
- Da última linha:
⇒ . - Da segunda:
⇒ ⇒ . - Da primeira:
⇒ ⇒ .
Então pelo Gauss a solução é
.
Passo 5
Decomposição LU
Queremos A = 1&2&-12&-1&21&-1&4, L=1&0&0ell21&1&0ell31&ell32&1, U=u11&u12&u130&u22&u230&0&u33 com
Queremos
Calculando passo a passo (Doolittle):
u₁₁=1, u₁₂=2, u₁₃=−1;
ℓ₂₁=2/1=2, ℓ₃₁=1/1=1;
u₂₂ = −1−2·2 = −5, u₂₃ = 2−2·(−1)=4;
u₃₂ = −1−1·2=−3, u₃₃ = 4−1·(−1)=5;
ℓ₃₂ = u₃₂/u₂₂ = (−3)/(−5)=3/5;
ajustando u₃₃ final = .
u₁₁=1, u₁₂=2, u₁₃=−1;
ℓ₂₁=2/1=2, ℓ₃₁=1/1=1;
u₂₂ = −1−2·2 = −5, u₂₃ = 2−2·(−1)=4;
u₃₂ = −1−1·2=−3, u₃₃ = 4−1·(−1)=5;
ℓ₃₂ = u₃₂/u₂₂ = (−3)/(−5)=3/5;
ajustando u₃₃ final =
Logo
Passo 6
Resolve
com
:
-
. -
⇒ ⇒ . -
⇒ ⇒ ⇒ .
Passo 7
Resolve
:
-
⇒ . -
⇒ ⇒ . -
⇒ ⇒ .
Resposta
Pelos dois métodos chegamos à mesma solução: