Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
cx+2 y-z=-1 2 x-y+2 z=6 x-y+4 z=9

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver o sistema
x + 2y - z = -1, 2x - y + 2z = 6, x - y + 4z = 9
usando dois métodos: eliminação de Gauss e decomposição LU.
Para isso a gente vai precisar entender:
  • Como fazer operações elementares em linhas da matriz aumentada (Gauss).
  • Como fatorar em (triangular inferior) e (triangular superior) e depois resolver e .

Passo 2

Método da eliminação de Gauss
  1. Monta a matriz aumentada 1 & 2 & -1 & mid & -1 2 & -1 & 2 & mid & 6 1 & -1 & 4 & mid & 9 :
R2 = (2,-1,2mid6) - 2,(1,2,-1mid-1) = (0,-5,4mid8)
  1. Queremos zerar abaixo do pivô (que é o 1 na posição (1,1)).
  • Nova linha 2 R3 = (1,-1,4mid9) - (1,2,-1mid-1) = (0,-3,5mid10) :
1 & 2 & -1 & mid & -1 0 & -5 & 4 & mid & 8 0 & -3 & 5 & mid & 10
  • Nova linha 3 :
Agora a matriz é

Passo 3

Continuando Gauss
3) Pivô na posição (2,2) vale R3 R3 - -3-5,R2 = (0,-3,5mid10) - 35(0,-5,4mid8) = (0,0,tfrac135mid tfrac265) . Vamos zerar abaixo:
1 & 2 & -1 & mid & -1 0 & -5 & 4 & mid & 8 0 & 0 & tfrac135 & mid & tfrac265
Agora a matriz triangular superior é

Passo 4

Back-substitution
  1. Da última linha: .
  2. Da segunda: .
  3. Da primeira: .
Então pelo Gauss a solução é .

Passo 5

Decomposição LU
Queremos A = 1&2&-12&-1&21&-1&4, L=1&0&0ell21&1&0ell31&ell32&1, U=u11&u12&u130&u22&u230&0&u33 com
L= 1&0&0 2&1&0 1&tfrac35&1 , U= 1&2&-1 0&-5&4 0&0&tfrac135
Calculando passo a passo (Doolittle):
u₁₁=1, u₁₂=2, u₁₃=−1;
ℓ₂₁=2/1=2, ℓ₃₁=1/1=1;
u₂₂ = −1−2·2 = −5, u₂₃ = 2−2·(−1)=4;
u₃₂ = −1−1·2=−3, u₃₃ = 4−1·(−1)=5;
ℓ₃₂ = u₃₂/u₂₂ = (−3)/(−5)=3/5;
ajustando u₃₃ final = .
Logo

Passo 6

Resolve com :
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 7

Resolve :
  1. .
  2. .
  3. .

Resposta

Pelos dois métodos chegamos à mesma solução:
boxedx=1, y=0, z=2

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