Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
cx+2 y-z=2 2 x-y+2 z=3 x-y+4 z=4

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente resolver o sistema
x + 2y - z = 2, 2x - y +2z = 3, x - y +4z = 4
usando dois métodos: eliminação de Gauss e decomposição LU.
Conteúdo: operações com matrizes, pivô, substituição direta e retroativa. Vamos precisar saber fazer operações de linha na matriz aumentada e fatorar a matriz em e .

Passo 2

Método da eliminação de Gauss – parte 1:
  1. Monta a matriz aumentada 1 & 2 & -1 & mid & 2 2 & -1 & 2 & mid & 3 1 & -1 & 4 & mid & 4 :
1 & 2 & -1 & mid & 2 0 & -5 & 4 & mid & -1 0 & -3 & 5 & mid & 2
  1. Zera abaixo de :

  • vai dar

Passo 3

Eliminação de Gauss – parte 2 e substituição retroativa:
  1. Zera abaixo de 1 & 2 & -1 & mid & 2 0 & -5 & 4 & mid & -1 0 & 0 & tfrac135 & mid & tfrac135 :
  1. Retro-substituição:
  • Da 3ª linha: .
  • Da 2ª linha: .
  • Da 1ª linha: .

Passo 4

Agora decomposição LU (sem pivoteamento) pra 1&2&-12&-1&21&-1&4:
Vamos usar Doolittle, montando
L= 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U= u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33

Passo 5

Calculando os L= 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & tfrac35 & 1 , U= 1 & 2 & -1 0 & -5 & 4 0 & 0 & tfrac135 e :
  • Da 1ª linha: .
  • .
  • (porque ).
Então

Passo 6

Resolve (substituição direta), com :
  1. .
  2. .

Passo 7

Resolve (substituição retroativa):
  1. .
  2. .
  3. .

Resposta

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