Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada x usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e precisão \varepsilon=10^{-2}.
\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+2 z=3 \\\ x-y+4 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) estudar a convergência do método de Gauss–Seidel para o sistema dado; (2) tentar obter uma solução aproximada [!x) usando Gauss–Seidel com x^{(0)}=\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^{T} e precisão \varepsilon=10^{-2}.
Dados fornecidos:
\begin{cases} x+2y-z=2\\[4pt] 2x-y+2z=3\\[4pt] x-y+4z=4 \end{cases}
vetor inicial: x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}\], tolerância: \(\varepsilon=10^{-2}.]

Passo 2

Lembrete prático sobre o método de Gauss–Seidel (explicação didática):
  • Seja A x=b o sistema com A de 3\times3. Escreve-se A=D+L+U, onde D é a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior.
  • A iteração de Gauss–Seidel atualiza as componentes em sequência usando as componentes já atualizadas na mesma iteração. A fórmula matricial é
x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(-U)x^{(k)}+(D+L)^{-1}b.
  • Um critério simples e usado no exame: parar quando a diferença entre iterações sucessivas for pequena. Aqui usamos a norma infinito (máxima diferença componente a componente) e o critério
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon.
  • Sobre convergência: uma condição suficiente (mas não necessária) para convergência é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas ou que A seja simétrica definida positiva. Se nenhuma condição suficiente se verifica, precisa estudar a matriz de iteração e seu raio espectral \rho(M). O método converge para todo vetor inicial se, e somente se, \rho(M)<1, onde M=(D+L)^{-1}(-U).
Agora aplicamos isso ao sistema.

Passo 3

Montagem das matrizes do sistema e verificação rápida de dominância:
  • Matriz dos coeficientes e vetor termo independente:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 4 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]4\end{pmatrix}.
  • Diagonais: a_{11}=1,\\ a_{22}=-1,\\ a_{33}=4.
  • Verificação de dominância por linhas: para a linha 1, |a_{11}|=1 e soma dos outros |2|+|{-1}|=3 (não domina); linha 2: |a_{22}|=1 e soma |2|+|2|=4 (não domina); linha 3: |a_{33}|=4 e soma |1|+|{-1}|=2 (esta linha domina). Conclusão: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (a condição suficiente falha). A matriz também não é simétrica, logo não podemos garantir convergência por essas condições simples.
Para decidir de forma definitiva, calculamos a matriz de iteração de Gauss–Seidel e o seu raio espectral.]

Passo 4

Cálculo da matriz de iteração M=(D+L)^{-1}(-U).
Primeiro escrevemos D,L,U:
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&-1&0\\[4pt]0&0&4\end{pmatrix}, \quad L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]2&0&0\\[4pt]1&-1&0\end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix}0&2&-1\\[4pt]0&0&2\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Então
D+L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\[4pt] 2&-1&0\\[4pt] 1&-1&4 \end{pmatrix},
que é triangular inferior; calculamos a sua inversa por substituição direta (coluna a coluna). Obtivemos
(D+L)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 0\\[4pt] \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por -U. Primeiro P=(D+L)^{-1}U foi calculado como
P=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 4 & -4\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4} \end{pmatrix},
portanto a matriz de iteração de Gauss–Seidel é
M=-(D+L)^{-1}U= \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & -4 & 4\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{4} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo do raio espectral \rho(M) (explicação e conta):
  • As autovalores de M satisfazem \det(M-\lambda I)=0. Como a primeira coluna de M é nula, um autovalor é \lambda_1=0. Os outros dois vêm da equação quadrática
\lambda^{2}+3{,}25\,\lambda-1=0.
  • Resolvendo:
\lambda=\dfrac{-3{,}25\pm\sqrt{3{,}25^{2}+4}}{2}.
Numericamente obtemos aproximadamente
\lambda_{2}\approx 0{,}2828,\qquad \lambda_{3}\approx -3{,}5328.
  • O raio espectral é o máximo dos valores absolutos:
\rho(M)=\max\{\,|\lambda_{1}|,|\lambda_{2}|,|\lambda_{3}|\,\}\approx 3{,}5328>1.
Conclusão teórica: como \rho(M)>1, a iteração de Gauss–Seidel NÃO converge (em geral) para a solução do sistema; portanto não é garantido nem possível obter, a partir do vetor inicial dado, uma aproximação que satisfaça \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-2}: o método diverge.

Passo 6

Para ilustrar o comportamento prático (mostra que diverge na prática com o x^{(0)} dado), executamos as primeiras iterações aplicando as fórmulas iterativas componentewise (fórmulas extraídas das equações):
\begin{aligned} x &= 2-2y+z,\\[4pt] y &= 2x+2z-3,\\[4pt] z &= \dfrac{4-x+y}{4}. \end{aligned}
Começando com x^{(0)}=(0,0,0)^{T}:
  • Iteração k=1:
x^{(1)}=2,\quad y^{(1)}=1,\quad z^{(1)}=0{,}75,
portanto x^{(1)}=\begin{bmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0{,}75\end{bmatrix}.
  • Iteração k=2:
x^{(2)}=0{,}75,\quad y^{(2)}=0,\quad z^{(2)}=0{,}8125,
x^{(2)}=\begin{bmatrix}0{,}75\\[2pt]0\\[2pt]0{,}8125\end{bmatrix}.
  • Iteração k=3:
x^{(3)}=2{,}8125,\quad y^{(3)}=4{,}25,\quad z^{(3)}\approx 1{,}359375.
  • Iteração k=4:
x^{(4)}\approx -5{,}140625,\quad y^{(4)}\approx -10{,}5625,\quad z^{(4)}\approx -0{,}35546875.
As componentes oscilam e crescem em magnitude, confirmando a previsão teórica: o método diverge e a diferença entre iterações não tende a zero; portanto não se alcança a tolerância \varepsilon=10^{-2}.]

Passo 7

Observação final e solução do sistema por método direto (útil para a prova):
  • Mesmo que Gauss–Seidel falhe aqui, o sistema tem solução única (porque A é invertível). Resolvendo por eliminação direta (substituição) encontra-se:
x=1,\qquad y=1,\qquad z=1,
isto é, a solução exata é x=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}.]

Resposta

Convergência: O método de Gauss–Seidel NÃO converge para este sistema ( \rho(M)\approx 3{,}5328>1); portanto não é possível obter uma aproximação por Gauss–Seidel a partir de x^{(0)} com \varepsilon=10^{-2}.
Solução exata do sistema: x=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}.]

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