Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada x usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e precisão \varepsilon=10^{-2}. \left\{\begin{array}{c}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+2 z=3 \\\ x-y+4 z=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) estudar a convergência do método de Gauss–Seidel para o sistema dado; (2) tentar obter uma solução aproximada [!x) usando Gauss–Seidel com x^{(0)}=\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^{T} e precisão \varepsilon=10^{-2}.
Lembrete prático sobre o método de Gauss–Seidel (explicação didática):
Seja A x=b o sistema com A de 3\times3. Escreve-se A=D+L+U, onde D é a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior.
A iteração de Gauss–Seidel atualiza as componentes em sequência usando as componentes já atualizadas na mesma iteração. A fórmula matricial é
x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(-U)x^{(k)}+(D+L)^{-1}b.
Um critério simples e usado no exame: parar quando a diferença entre iterações sucessivas for pequena. Aqui usamos a norma infinito (máxima diferença componente a componente) e o critério
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon.
Sobre convergência: uma condição suficiente (mas não necessária) para convergência é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas ou que A seja simétrica definida positiva. Se nenhuma condição suficiente se verifica, precisa estudar a matriz de iteração e seu raio espectral \rho(M). O método converge para todo vetor inicial se, e somente se, \rho(M)<1, onde M=(D+L)^{-1}(-U).
Agora aplicamos isso ao sistema.
Passo 3
Montagem das matrizes do sistema e verificação rápida de dominância:
Matriz dos coeficientes e vetor termo independente:
Verificação de dominância por linhas: para a linha 1, |a_{11}|=1 e soma dos outros |2|+|{-1}|=3 (não domina); linha 2: |a_{22}|=1 e soma |2|+|2|=4 (não domina); linha 3: |a_{33}|=4 e soma |1|+|{-1}|=2 (esta linha domina). Conclusão: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (a condição suficiente falha). A matriz também não é simétrica, logo não podemos garantir convergência por essas condições simples.
Para decidir de forma definitiva, calculamos a matriz de iteração de Gauss–Seidel e o seu raio espectral.]
Cálculo do raio espectral \rho(M) (explicação e conta):
As autovalores de M satisfazem \det(M-\lambda I)=0. Como a primeira coluna de M é nula, um autovalor é \lambda_1=0. Os outros dois vêm da equação quadrática
Conclusão teórica: como \rho(M)>1, a iteração de Gauss–Seidel NÃO converge (em geral) para a solução do sistema; portanto não é garantido nem possível obter, a partir do vetor inicial dado, uma aproximação que satisfaça \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-2}: o método diverge.
Passo 6
Para ilustrar o comportamento prático (mostra que diverge na prática com o x^{(0)} dado), executamos as primeiras iterações aplicando as fórmulas iterativas componentewise (fórmulas extraídas das equações):
\begin{aligned} x &= 2-2y+z,\\[4pt] y &= 2x+2z-3,\\[4pt] z &= \dfrac{4-x+y}{4}. \end{aligned}
As componentes oscilam e crescem em magnitude, confirmando a previsão teórica: o método diverge e a diferença entre iterações não tende a zero; portanto não se alcança a tolerância \varepsilon=10^{-2}.]
Passo 7
Observação final e solução do sistema por método direto (útil para a prova):
Mesmo que Gauss–Seidel falhe aqui, o sistema tem solução única (porque A é invertível). Resolvendo por eliminação direta (substituição) encontra-se:
x=1,\qquad y=1,\qquad z=1,
isto é, a solução exata é x=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}.]
Resposta
Convergência: O método de Gauss–Seidel NÃO converge para este sistema (\rho(M)\approx 3{,}5328>1); portanto não é possível obter uma aproximação por Gauss–Seidel a partir de x^{(0)} com \varepsilon=10^{-2}.
Solução exata do sistema: x=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}.]