Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada x usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e precisão \varepsilon=10^{-2}. \quad\left\{\begin{aligned} 3 x-4 y+z & =9 \\\\ 4 x-3 z & =-2 \\\ x+2 y+2 z & =3\end{aligned}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Sistema linear (as equações estão escritas na ordem do enunciado):
Observação imediata: o elemento diagonal da segunda linha é a_{22}=0. Isso impede aplicar diretamente a fórmula padrão de Gauss–Seidel sem reordenar as equações (pois cada passo exige dividir pelo elemento diagonal da linha utilizada).]
Passo 2
Breve explicação didática do método de Gauss–Seidel e do que vamos usar no estudo de convergência.
Ideia do Gauss–Seidel (esquema de iteração): escrevemos A=D+L+U, onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração de Gauss–Seidel é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1} U x^{(k)} + (D+L)^{-1} b.
Neste formato, (D+L)^{-1}U é a matriz de iteração; se o raio espectral \rho\big((D+L)^{-1}U\big)<1 então o método converge para a solução, para qualquer inicial. Na prática diretamente computamos atualizações coordenada a coordenada:
Se \max_i \beta_i <1 então o método de Gauss–Seidel converge (para qualquer inicial). Observação: é uma condição suficiente, não necessária — quando ela falha não podemos concluir automaticamente que o método diverge; porém é um teste rápido.
Vou usar essas ideias para estudar a convergência deste sistema.]
Passo 3
Verificação direta de problemas imediatos e reordenação para poder aplicar Gauss–Seidel.
Observação: [a_{22}=0). Assim, na ordem dada das equações não é possível computar y por divisão por a_{22}. Para aplicar Gauss–Seidel precisamos que os elementos diagonais usados sejam não nulos; por isso podemos reordenar as equações (trocar linhas) — reordenar equações não altera a solução do sistema e é procedimento comum (equivalente a permutar linhas da matriz e do vetor b).
Escolha de reordenação que torne todos os elementos diagonais não nulos: trocar a 2ª e a 3ª equação do enunciado. Nova ordem (vou numerar as equações após permuta):
cuja diagonal tem todos os elementos não nulos ((3,2,-3]). Assim podemos aplicar Gauss–Seidel usando a ordem das equações acima. (Obs.: outras permutações também possíveis; escolhi essa por tornar claro o cálculo das atualizações.)]
Passo 4
Aplicação do critério de Sassenfeld à matriz permutada A' (teste suficiente de convergência).
Escrevendo as linhas de A':
linha 1: a_{11}=3,\\ a_{12}=-4,\\ a_{13}=1.
linha 2: a_{21}=1,\\ a_{22}=2,\\ a_{23}=2.
linha 3: a_{31}=4,\\ a_{32}=0,\\ a_{33}=-3.
Calculando \beta_i (seguindo a fórmula de Sassenfeld):
Como \beta_1>1 já temos \max \beta_i\ge \beta_1>1, portanto a condição de Sassenfeld NÃO é satisfeita para esta ordenação. Conclusão: o teste suficiente falha — não podemos garantir convergência por esse critério.
Observação: tentei mentalmente outras permutações possíveis; em todas elas a condição de Sassenfeld falha (ou aparece uma linha com diagonal zero na ordem natural). Assim, não há uma ordem simples que garanta convergência via Sassenfeld. Lembre-se: falha no critério de Sassenfeld não prova divergência, apenas elimina a garantia.
Passo 5
Tentativa prática de iterações Gauss–Seidel (ordem escolhida em Passo 3) e observação do comportamento numérico.
Com a ordenação das equações dada em Passo 3, isolamos as incógnitas em cada linha para obter as fórmulas de iteração (usar as componentes atualizadas quando já calculadas na iteração corrente):
Estas são as atualizações usadas em Gauss–Seidel (repare que ao calcular y^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} já atualizado; ao calcular z^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} e y^{(k+1)} segundo a ordem escolhida — na nossa escrita z foi isolado na terceira equação e depende apenas de x^{(k+1)}).
Iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T. Vou calcular várias iterações mostrando os números com notação decimal para ficar claro (cada passo mostra x^{(k)}=(x^{(k)}_1,x^{(k)}_2,x^{(k)}_3)):
Logo x^{(2)}\approx(1{,}4444,\;-3{,}8889,\;2{,}5926).
Iteração 3:
x^{(3)}\approx(-3{,}0494,\;0{,}4321,\;-3{,}3992).
Iteração 4:
x^{(4)}\approx(4{,}7092,\;2{,}5446,\;6{,}9456).
Observação do comportamento: os componentes oscilam e em módulo crescem bastante entre várias iterações (por exemplo x_3 teve 4{,}6667 → 2{,}5926 → -3{,}3992 → 6{,}9456 …), o que é sinal de não convergência numérica nesta ordenação com a inicial dada. Tentei mentalmente outras ordens de equações (como começar por 4x-3z=-2 etc.) e, de forma prática, as iterações também apresentaram oscilação e crescimento em magnitude nas primeiras iterações testadas. Portanto o comportamento numérico observável é de não convergência (divergência/oscilações de grande amplitude) com as ordens testadas e com a inicial dada.]
Passo 6
Verificação analítica adicional (solução exata do sistema) e conclusão final sobre Gauss–Seidel.
Para referência rápida: podemos resolver o sistema exato por métodos diretos (eliminação). Fazendo isso obtém-se a solução exata
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Isto mostra que existe uma solução estável e pequena, mas o método iterativo Gauss–Seidel (com as ordens de equações testadas e com x^{(0)}=(0,0,0)^T) não está a convergir numericamente para essa solução — ao invés disso as iteradas divergem/osciliam.
Interpretação: o critério de Sassenfeld falhou (não deu \max\beta_i<1), o elemento a_{22}=0 obriga a reordenar as equações, e as reordenações testadas não produziram uma matriz de iteração de Gauss–Seidel com raio espectral menor que 1 (comportamento confirmado pelas iterações numéricas). Logo, o método de Gauss–Seidel não converge (pelo menos com as permutações razoáveis e com o chute inicial dado). Consequentemente, NÃO é possível obter uma aproximação válida até a tolerância \varepsilon=10^{-2} aplicando diretamente Gauss–Seidel com a aproximação inicial fornecida.
Nota final e sugestão prática: quando Gauss–Seidel não converge, opções são:
aplicar reordenação mais sofisticada (pivoteamento) tentando obter uma matriz estritamente diagonal dominante (aqui não foi possível com permutações simples);
usar método direto (eliminação de Gauss) — que nos dá a solução exata acima;
usar métodos iterativos alternativos (por exemplo Relajação de Gauss–Seidel com fator \omega apropriado, ou métodos de Krylov como GMRES/CG se a matriz fosse adequada) — que podem convergir quando o Gauss–Seidel simples falha.]
Resposta
O método de Gauss–Seidel, com a ordem de equações testada e com x^{(0)}=(0,0,0)^T, não converge (iterações oscilam/divergem); portanto não é possível obter uma aproximação por Gauss–Seidel até \varepsilon=10^{-2}.