Dados os sistemas lineares abaixo, faça o estudo de convergência e determine uma solução aproximada x usando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e precisão \varepsilon=10^{-2}.
\quad\left\{\begin{aligned} 3 x-4 y+z & =9 \\\\ 4 x-3 z & =-2 \\\ x+2 y+2 z & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Sistema linear (as equações estão escritas na ordem do enunciado):
\begin{cases} 3x-4y+z=9,\\[4pt] 4x-3z=-2,\\[4pt] x+2y+2z=3. \end{cases}
  • Aproximação inicial fornecida: \;x^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\right].
  • Precisão pedida: \varepsilon=10^{-2}.
  • O enunciado pede:
    • Fazer o estudo de convergência do método de Gauss–Seidel para este sistema;
    • Determinar uma solução aproximada x usando Gauss–Seidel (com a inicial dada) até \varepsilon=10^{-2}.
Informações relevantes extraídas do sistema:
  • Matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 3 & -4 & 1\\[4pt] 4 & 0 & -3\\[4pt] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix},
vetor b=\begin{pmatrix}9\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
  • Observação imediata: o elemento diagonal da segunda linha é a_{22}=0. Isso impede aplicar diretamente a fórmula padrão de Gauss–Seidel sem reordenar as equações (pois cada passo exige dividir pelo elemento diagonal da linha utilizada).]

Passo 2

Breve explicação didática do método de Gauss–Seidel e do que vamos usar no estudo de convergência.
  • Ideia do Gauss–Seidel (esquema de iteração): escrevemos A=D+L+U, onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração de Gauss–Seidel é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1} U x^{(k)} + (D+L)^{-1} b.
Neste formato, (D+L)^{-1}U é a matriz de iteração; se o raio espectral \rho\big((D+L)^{-1}U\big)<1 então o método converge para a solução, para qualquer inicial. Na prática diretamente computamos atualizações coordenada a coordenada:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{a_{11}}\Big(b_1 - \sum_{j=2}^n a_{1j} x_j^{(k)}\Big),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{a_{22}}\Big(b_2 - a_{21} x_1^{(k+1)} - \sum_{j=3}^n a_{2j} x_j^{(k)}\Big),\\[4pt] &\\ \vdots \end{aligned}
onde ao computar x_i^{(k+1)} usamos já os x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} atualizados e os x_{i+1}^{(k)},\dots,x_n^{(k)} da iteração anterior.
  • Critério prático útil (suficiente): critério de Sassenfeld. Definimos números \beta_i por
\begin{aligned} \beta_1 &= \frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^n |a_{1j}|,\\[4pt] \beta_i &= \frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1} |a_{ij}|\beta_j + \sum_{j=i+1}^n |a_{ij}|\Big),\quad i=2,\dots,n. \end{aligned}
Se \max_i \beta_i <1 então o método de Gauss–Seidel converge (para qualquer inicial). Observação: é uma condição suficiente, não necessária — quando ela falha não podemos concluir automaticamente que o método diverge; porém é um teste rápido.
Vou usar essas ideias para estudar a convergência deste sistema.]

Passo 3

Verificação direta de problemas imediatos e reordenação para poder aplicar Gauss–Seidel.
  • Observação: [a_{22}=0). Assim, na ordem dada das equações não é possível computar y por divisão por a_{22}. Para aplicar Gauss–Seidel precisamos que os elementos diagonais usados sejam não nulos; por isso podemos reordenar as equações (trocar linhas) — reordenar equações não altera a solução do sistema e é procedimento comum (equivalente a permutar linhas da matriz e do vetor b).
  • Escolha de reordenação que torne todos os elementos diagonais não nulos: trocar a 2ª e a 3ª equação do enunciado. Nova ordem (vou numerar as equações após permuta):
\begin{cases} (1)\quad 3x-4y+z=9,\\[4pt] (2)\quad x+2y+2z=3,\\[4pt] (3)\quad 4x-3z=-2. \end{cases}
A matriz correspondente é
A'=\begin{pmatrix}3 & -4 & 1\\[4pt]1 & 2 & 2\\[4pt]4 & 0 & -3\end{pmatrix},
cuja diagonal tem todos os elementos não nulos ((3,2,-3]). Assim podemos aplicar Gauss–Seidel usando a ordem das equações acima. (Obs.: outras permutações também possíveis; escolhi essa por tornar claro o cálculo das atualizações.)]

Passo 4

Aplicação do critério de Sassenfeld à matriz permutada A' (teste suficiente de convergência).
  • Escrevendo as linhas de A':
    • linha 1: a_{11}=3,\\ a_{12}=-4,\\ a_{13}=1.
    • linha 2: a_{21}=1,\\ a_{22}=2,\\ a_{23}=2.
    • linha 3: a_{31}=4,\\ a_{32}=0,\\ a_{33}=-3.
  • Calculando \beta_i (seguindo a fórmula de Sassenfeld):
\beta_1 = \frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{4+1}{3}=\frac{5}{3}\approx1{,}6667.
Como \beta_1>1 já temos \max \beta_i\ge \beta_1>1, portanto a condição de Sassenfeld NÃO é satisfeita para esta ordenação. Conclusão: o teste suficiente falha — não podemos garantir convergência por esse critério.
  • Observação: tentei mentalmente outras permutações possíveis; em todas elas a condição de Sassenfeld falha (ou aparece uma linha com diagonal zero na ordem natural). Assim, não há uma ordem simples que garanta convergência via Sassenfeld. Lembre-se: falha no critério de Sassenfeld não prova divergência, apenas elimina a garantia.

Passo 5

Tentativa prática de iterações Gauss–Seidel (ordem escolhida em Passo 3) e observação do comportamento numérico.
  • Com a ordenação das equações dada em Passo 3, isolamos as incógnitas em cada linha para obter as fórmulas de iteração (usar as componentes atualizadas quando já calculadas na iteração corrente):
\begin{aligned} x^{(k+1)} &= \frac{1}{3}\big(9 + 4\,y^{(k)} - z^{(k)}\big),\\[6pt] y^{(k+1)} &= \frac{1}{2}\big(3 - x^{(k+1)} - 2\,z^{(k)}\big),\\[6pt] z^{(k+1)} &= \frac{1}{-3}\big(-2 - 4\,x^{(k+1)}\big) = \frac{2 + 4\,x^{(k+1)}}{3}. \end{aligned}
Estas são as atualizações usadas em Gauss–Seidel (repare que ao calcular y^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} já atualizado; ao calcular z^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} e y^{(k+1)} segundo a ordem escolhida — na nossa escrita z foi isolado na terceira equação e depende apenas de x^{(k+1)}).
  • Iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T. Vou calcular várias iterações mostrando os números com notação decimal para ficar claro (cada passo mostra x^{(k)}=(x^{(k)}_1,x^{(k)}_2,x^{(k)}_3)):
Iteração 0 (inicial):
x^{(0)}=(0,\;0,\;0).
Iteração 1:
\begin{aligned} x^{(1)}_1 &= \frac{1}{3}(9 +4\cdot 0 - 0)=3,\\[4pt] x^{(1)}_2 &= \frac{1}{2}(3 - 3 - 2\cdot 0)=0,\\[4pt] x^{(1)}_3 &= \frac{2 + 4\cdot 3}{3}=\frac{14}{3}\approx 4{,}6667. \end{aligned}
Logo x^{(1)}\approx(3,\;0,\;4{,}6667).
Iteração 2:
\begin{aligned} x^{(2)}_1 &= \frac{1}{3}\big(9 +4\cdot 0 - 4{,}6667\big)\approx 1{,}4444,\\[4pt] x^{(2)}_2 &= \frac{1}{2}\big(3 - 1{,}4444 -2\cdot 4{,}6667\big)\approx -3{,}8889,\\[4pt] x^{(2)}_3 &= \frac{2 + 4\cdot 1{,}4444}{3}\approx 2{,}5926. \end{aligned}
Logo x^{(2)}\approx(1{,}4444,\;-3{,}8889,\;2{,}5926).
Iteração 3:
x^{(3)}\approx(-3{,}0494,\;0{,}4321,\;-3{,}3992).
Iteração 4:
x^{(4)}\approx(4{,}7092,\;2{,}5446,\;6{,}9456).
  • Observação do comportamento: os componentes oscilam e em módulo crescem bastante entre várias iterações (por exemplo x_3 teve 4{,}6667 → 2{,}5926 → -3{,}3992 → 6{,}9456 …), o que é sinal de não convergência numérica nesta ordenação com a inicial dada. Tentei mentalmente outras ordens de equações (como começar por 4x-3z=-2 etc.) e, de forma prática, as iterações também apresentaram oscilação e crescimento em magnitude nas primeiras iterações testadas. Portanto o comportamento numérico observável é de não convergência (divergência/oscilações de grande amplitude) com as ordens testadas e com a inicial dada.]

Passo 6

Verificação analítica adicional (solução exata do sistema) e conclusão final sobre Gauss–Seidel.
  • Para referência rápida: podemos resolver o sistema exato por métodos diretos (eliminação). Fazendo isso obtém-se a solução exata
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Isto mostra que existe uma solução estável e pequena, mas o método iterativo Gauss–Seidel (com as ordens de equações testadas e com x^{(0)}=(0,0,0)^T) não está a convergir numericamente para essa solução — ao invés disso as iteradas divergem/osciliam.
  • Interpretação: o critério de Sassenfeld falhou (não deu \max\beta_i<1), o elemento a_{22}=0 obriga a reordenar as equações, e as reordenações testadas não produziram uma matriz de iteração de Gauss–Seidel com raio espectral menor que 1 (comportamento confirmado pelas iterações numéricas). Logo, o método de Gauss–Seidel não converge (pelo menos com as permutações razoáveis e com o chute inicial dado). Consequentemente, NÃO é possível obter uma aproximação válida até a tolerância \varepsilon=10^{-2} aplicando diretamente Gauss–Seidel com a aproximação inicial fornecida.
  • Nota final e sugestão prática: quando Gauss–Seidel não converge, opções são:
    1. aplicar reordenação mais sofisticada (pivoteamento) tentando obter uma matriz estritamente diagonal dominante (aqui não foi possível com permutações simples);
    2. usar método direto (eliminação de Gauss) — que nos dá a solução exata acima;
    3. usar métodos iterativos alternativos (por exemplo Relajação de Gauss–Seidel com fator \omega apropriado, ou métodos de Krylov como GMRES/CG se a matriz fosse adequada) — que podem convergir quando o Gauss–Seidel simples falha.]

Resposta

O método de Gauss–Seidel, com a ordem de equações testada e com x^{(0)}=(0,0,0)^T, não converge (iterações oscilam/divergem); portanto não é possível obter uma aproximação por Gauss–Seidel até \varepsilon=10^{-2}.

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