Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU. \left\{\begin{array}{cccc}x & +2 y-z & =-1 \\\\ 2 x-y+2 z & =6 \\\ x-y+4 z & =9\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando dois métodos: eliminação de Gauss e decomposição LU. O sistema é
\begin{cases} x + 2y - z = -1,\\[4pt] 2x - y + 2z = 6,\\[4pt] x - y + 4z = 9. \end{cases}
Continuação da eliminação — zerar a entrada abaixo do pivô da segunda linha.
O pivô da segunda linha é -5. Para zerar a entrada -3 na posição (3,2) usamos
Portanto, pela eliminação de Gauss obtemos \,x=1,\;y=0,\;z=2.
Passo 5
Decomposição LU (método de Doolittle) — explicação rápida do método e montagem.
A ideia da decomposição LU é escrever A = L\,U, onde L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U é triangular superior. No método de Doolittle as fórmulas são, para k-ésima etapa,
Verificação rápida: L\,U = A (confere com a multiplicação).]
Passo 7
Resolução do sistema A x = b\) usando \(LU\) — duas etapas: \(L y = b\) (substituição direta) e \(U x = y\) (substituição regressiva).
Primeiro, resolvemos \(L y = b\). As equações são
\[\begin{cases} y_1 = -1,\\[4pt] 2y_1 + y_2 = 6,\\[4pt] y_1 + \dfrac{3}{5}y_2 + y_3 = 9. \end{cases}