Dados os sistemas a seguir, resolva-os, se possível, usando os métodos iterativos estudos. Considere cinco casas decimais e erro menor que .
Observação: Antes de resolver os sistemas verifiquem os testes de convergência, e se necessário, realize permutações para atendê-los.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando métodos iterativos. O sistema que temos é:
x1 + x3 = 7 2x1 + 2x2 + x3 = 9 -x2 + x3 = 3
O conteúdo que vamos utilizar aqui é de Álgebra Linear, especificamente métodos iterativos como Jacobi ou Gauss-Seidel. Para começar, precisamos verificar se o sistema converge com o método escolhido, isso envolve analisar a diagonal dominante. Se não for, podemos precisar rearranjar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz dos coeficientes é diagonal dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
A matriz dos coeficientes é:
1 & 0 & 1 2 & 2 & 1 0 & -1 & 1
Vamos verificar cada linha:
Primeira equação: |1| > |0| + |1| → 1 > 1? Não, não é.
Segunda equação: |2| > |2| + |1| → 2 > 3? Não, não é.
Terceira equação: |1| > |0| + |1| → 1 > 1? Não, não é.
Nenhuma das linhas é diagonal dominante, então precisamos rearranjar as equações para tentar obter a diagonal dominante.
Passo 3
Vamos tentar rearranjar as equações para obter a diagonal dominante. Uma estratégia é trocar a segunda e a primeira equação.
Novo sistema:
2x1 + 2x2 + x3 = 9 x1 + x3 = 7 -x2 + x3 = 3
Agora, vamos verificar novamente a diagonal dominante:
Primeira equação: |2| > |2| + |1| → 2 > 3? Não.
Segunda equação: |1| > |0| + |1| → 1 > 1? Não.
Terceira equação: |1| > |0| + |1| → 1 > 1? Não.
Ainda não está funcionando. Vamos tentar outra troca, colocando a terceira equação na primeira posição.
Novo sistema:
-x2 + x3 = 3 x1 + x3 = 7 2x1 + 2x2 + x3 = 9
Verificando a diagonal dominante:
Primeira equação: |1| > |-1| + |0| → 1 > 1? Não.
Segunda equação: |1| > |0| + |1| → 1 > 1? Não.
Terceira equação: |2| > |2| + |1| → 2 > 3? Não.
Parece que não conseguimos diagonal dominante com rearranjos. Nesse caso, os métodos iterativos podem não convergir facilmente. Entretanto, vamos prosseguir com o método de Jacobi e ver o que acontece.
Passo 4
Como o sistema não é diagonal dominante, vamos optar pelo método de Jacobi e definir as equações isolando cada variável:
Ainda não está dentro do erro permitido. Continuamos as iterações.
Passo 16
O processo continuaria com as iterações até que a diferença entre as aproximações consecutivas de todas as variáveis seja menor que 0,01. No entanto, devido à natureza desse sistema e à falta de diagonal dominante, o método de Jacobi pode não convergir ou levar muitas iterações para atingir a precisão necessária.
Resposta
Após várias iterações do método de Jacobi, observamos que o sistema não está convergindo dentro do critério de erro estabelecido (varepsilon = 10^-2). Portanto, é recomendado utilizar outro método ou rearranjar o sistema para tentar obter uma matriz diagonal dominante que favoreça a convergência.