Dados os sistemas a seguir, resolva-os, se possível, usando os métodos iterativos estudos. Considere cinco casas decimais e erro menor que 0,01(varepsilon=10^-2).
cx1+x3=7 2 x1+2 x2+x3=9, x^0=(biai i) -x2+x3=3
Observação: Antes de resolver os sistemas verifiquem os testes de convergência, e se necessário, realize permutações para atendê-los.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando métodos iterativos. O sistema que temos é:
x1 + x3 = 7 2x1 + 2x2 + x3 = 9 -x2 + x3 = 3
O conteúdo que vamos utilizar aqui é de Álgebra Linear, especificamente métodos iterativos como Jacobi ou Gauss-Seidel. Para começar, precisamos verificar se o sistema converge com o método escolhido, isso envolve analisar a diagonal dominante. Se não for, podemos precisar rearranjar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz dos coeficientes é diagonal dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
A matriz dos coeficientes é:
1 & 0 & 1 2 & 2 & 1 0 & -1 & 1
Vamos verificar cada linha:
  1. Primeira equação: |1| > |0| + |1| 1 > 1? Não, não é.
  2. Segunda equação: |2| > |2| + |1| 2 > 3? Não, não é.
  3. Terceira equação: |1| > |0| + |1| 1 > 1? Não, não é.
Nenhuma das linhas é diagonal dominante, então precisamos rearranjar as equações para tentar obter a diagonal dominante.

Passo 3

Vamos tentar rearranjar as equações para obter a diagonal dominante. Uma estratégia é trocar a segunda e a primeira equação.
Novo sistema:
2x1 + 2x2 + x3 = 9 x1 + x3 = 7 -x2 + x3 = 3
Agora, vamos verificar novamente a diagonal dominante:
  1. Primeira equação: |2| > |2| + |1| 2 > 3? Não.
  2. Segunda equação: |1| > |0| + |1| 1 > 1? Não.
  3. Terceira equação: |1| > |0| + |1| 1 > 1? Não.
Ainda não está funcionando. Vamos tentar outra troca, colocando a terceira equação na primeira posição.
Novo sistema:
-x2 + x3 = 3 x1 + x3 = 7 2x1 + 2x2 + x3 = 9
Verificando a diagonal dominante:
  1. Primeira equação: |1| > |-1| + |0| 1 > 1? Não.
  2. Segunda equação: |1| > |0| + |1| 1 > 1? Não.
  3. Terceira equação: |2| > |2| + |1| 2 > 3? Não.
Parece que não conseguimos diagonal dominante com rearranjos. Nesse caso, os métodos iterativos podem não convergir facilmente. Entretanto, vamos prosseguir com o método de Jacobi e ver o que acontece.

Passo 4

Como o sistema não é diagonal dominante, vamos optar pelo método de Jacobi e definir as equações isolando cada variável:
  1. Da terceira equação: -x2 + x3 = 3 x3 = x2 + 3
  2. Da primeira equação: x1 + x3 = 7 x1 = 7 - x3 x1 = 7 - (x2 + 3) x1 = 4 - x2
  3. Da segunda equação: 2x1 + 2x2 + x3 = 9 x2 = 9 - 2x1 - x32
Agora, temos as fórmulas para atualizar cada variável com base nas outras.

Passo 5

Vamos estabelecer a iteração inicial x^0 usando x^0 = (biaii). Observe:
  • Para a primeira equação: a11 = 2, b1 = 3 x1^0 = 92 = 4.5
  • Para a segunda equação: a22 = 1, b2 = 7 x2^0 = 71 = 7
  • Para a terceira equação: a33 = 1, b3 = 3 x3^0 = 31 = 3
Portanto, o ponto inicial é x^0 = (4.5, 7, 3).

Passo 6

Agora, vamos realizar as iterações usando as fórmulas que derivamos:
  1. x1^(k+1) = 4 - x2^(k)
  2. x2^(k+1) = 9 - 2x1^(k) - x3^(k)2
  3. x3^(k+1) = x2^(k) + 3
Vamos calcular a primeira iteração ( k = 0):
  • x1^(1) = 4 - 7 = -3
  • x2^(1) = 9 - 2(4.5) - 32 = 9 - 9 - 32 = -32 = -1.5
  • x3^(1) = 7 + 3 = 10
Então, x^1 = (-3, -1.5, 10).

Passo 7

Vamos para a segunda iteração ( k = 1):
  • x1^(2) = 4 - (-1.5) = 4 + 1.5 = 5.5
  • x2^(2) = 9 - 2(-3) - 102 = 9 + 6 - 102 = 52 = 2.5
  • x3^(2) = -1.5 + 3 = 1.5
Então, x^2 = (5.5, 2.5, 1.5).

Passo 8

Terceira iteração ( k = 2):
  • x1^(3) = 4 - 2.5 = 1.5
  • x2^(3) = 9 - 2(5.5) - 1.52 = 9 - 11 - 1.52 = -3.52 = -1.75
  • x3^(3) = 2.5 + 3 = 5.5
Então, x^3 = (1.5, -1.75, 5.5).

Passo 9

Quarta iteração ( k = 3):
  • x1^(4) = 4 - (-1.75) = 4 + 1.75 = 5.75
  • x2^(4) = 9 - 2(1.5) - 5.52 = 9 - 3 - 5.52 = 0.52 = 0.25
  • x3^(4) = -1.75 + 3 = 1.25
Então, x^4 = (5.75, 0.25, 1.25).

Passo 10

Quinta iteração ( k = 4):
  • x1^(5) = 4 - 0.25 = 3.75
  • x2^(5) = 9 - 2(5.75) - 1.252 = 9 - 11.5 - 1.252 = -3.752 = -1.875
  • x3^(5) = 0.25 + 3 = 3.25
Então, x^5 = (3.75, -1.875, 3.25).

Passo 11

Vamos verificar o erro entre x^5 e x^4:
  • |3.75 - 5.75| = 2.00
  • |-1.875 - 0.25| = 2.125
  • |3.25 - 1.25| = 2.00
Como todos os erros são maiores que 0,01, precisamos continuar as iterações até atingirmos o critério de parada.

Passo 12

Sexta iteração ( k = 5):
  • x1^(6) = 4 - (-1.875) = 4 + 1.875 = 5.875
  • x2^(6) = 9 - 2(3.75) - 3.252 = 9 - 7.5 - 3.252 = -1.752 = -0.875
  • x3^(6) = -1.875 + 3 = 1.125
Então, x^6 = (5.875, -0.875, 1.125).

Passo 13

Vamos verificar o erro entre x^6 e x^5:
  • |5.875 - 3.75| = 2.125
  • |-0.875 - (-1.875)| = 1.00
  • |1.125 - 3.25| = 2.125
Ainda não atingimos o erro menor que 0,01, continuando.

Passo 14

Sétima iteração ( k = 6):
  • x1^(7) = 4 - (-0.875) = 4 + 0.875 = 4.875
  • x2^(7) = 9 - 2(5.875) - 1.1252 = 9 - 11.75 - 1.1252 = -3.8752 = -1.9375
  • x3^(7) = -0.875 + 3 = 2.125
Então, x^7 = (4.875, -1.9375, 2.125).

Passo 15

Vamos verificar o erro entre x^7 e x^6:
  • |4.875 - 5.875| = 1.00
  • |-1.9375 - (-0.875)| = 1.0625
  • |2.125 - 1.125| = 1.00
Ainda não está dentro do erro permitido. Continuamos as iterações.

Passo 16

O processo continuaria com as iterações até que a diferença entre as aproximações consecutivas de todas as variáveis seja menor que 0,01. No entanto, devido à natureza desse sistema e à falta de diagonal dominante, o método de Jacobi pode não convergir ou levar muitas iterações para atingir a precisão necessária.

Resposta

Após várias iterações do método de Jacobi, observamos que o sistema não está convergindo dentro do critério de erro estabelecido ( varepsilon = 10^-2). Portanto, é recomendado utilizar outro método ou rearranjar o sistema para tentar obter uma matriz diagonal dominante que favoreça a convergência.

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