Dados valores amostrais de uma funçào f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para circ intervalo [2,12], considere a seguinte malha: x0=2, x1=7, x2=11 e x3=12. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observaçāo: A fórmula para a aproximaģỉo da derivada é a inclinagäo da reta secante passando pelo pontu extremo e pely ponto 酐jacente. A formula para us poritus interiares parese mais misteriusa é a derivada em xi da parábula que interpola os pon- tos(xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando se os pontos (xi-1, yi-1) e (xi, yi) ou utilizando se (xi, yi) e (xi+1, yi+1), Neste caso, os pesos da ponderaçāo sāo, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-14 & 14 & 0 & 0 -120 & -34 & 45 & 0 0 & -21 & 1 & 1 0 & 0 & -12 & 12]
(B) [rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -110 & 0 & 110 & 0 0 & -130 & -26 & 56 0 & 0 & -1 & 1]
© [rrrr-1p & 15 & 0 & 0 -145 & -120 & 536 & 0 0 & -120 & -34 & 45 0 & 0 & -1 & 1]
(D) [rrrr-14 & 14 & 0 & 0 -536 & 12 n & 445 & 0 0 & -235 & -510 & 514 0 & 0 & -12 & 12]
(E) [rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -235 & -310 & 514 & 0 0 & -16 & -12 & 23 0 & 0 & -1 & 1]
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer montar uma matriz que pega o vetor dos valores da função nos pontos e devolve a aproximação da derivada . O conteúdo é diferença finita pra derivada: extremos com a reta secante e interiores como derivada da parábola que interpola três pontos.

Passo 2

Primeiro, os extremos:
g0=-15,y0+15,y1 , logo
g3=y3-y212-11=y3-y2,
E em g3=0cdot y0+0cdot y1-1cdot y2+1cdot y3 (no ),
ou seja

Passo 3

Agora o ponto interior g1=-h2^2alpha1y0+h2^2-h1^2alpha1y1+h1^2alpha1y2 ( g1=-16180y0+16-25180y1+25180y2 =-445y0-120y1+536y2 ):
  • , .
  • .
    A fórmula diz
Substituindo , :

Passo 4

E em g2=-1^220y1+1^2-4^220y2+4^220y3 =-120y1-1520y2+1620y3 =-120y1-34y2+45y3 ( ):
  • , .
  • .

Passo 5

Juntando tudo, a matriz T= -tfrac15 & tfrac15 & 0 & 0 -tfrac445 & -tfrac120 & tfrac536 & 0 0 & -tfrac120 & -tfrac34 & tfrac45 0 & 0 & -1 & 1 é
Nenhuma das opções (A) a (E) bate exatamente com esses coeficientes.

Resposta

(F) Não sei.

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