Dados valores amostrais de uma funçào f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1 ;
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [5,17], considere a seguinte malha: x0=5, x1=10, x2=14 e x3=17. Escreva a matriz que representa a transformaçâo linear que leva os valores da função nos valores da aproximaçāo da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximaçāo da derivada 6 a inclinaçāo da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos ( xi-1, yi-1) e (xi, yi) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação sâo, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
(A) [rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -235 & -310 & 514 & 0 0 & -110 & 16 & 215 0 & 0 & -13 & 13]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida no intervalo com alguns pontos específicos: , , e . A gente sabe os valores de nesses pontos, ou seja, e . A tarefa é encontrar uma matriz que transforme esses valores nos valores aproximados das derivadas nesses mesmos pontos. Vamos precisar entender como calcular essas derivadas aproximadas usando as fórmulas dadas para pontos extremos e interiores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular g0 = y1 - y0x1 - x0 e g3 = y3 - y2x3 - x2 e g0 = y1 - y010 - 5 = y1 - y05 , que são os pontos extremos. A fórmula pra esses pontos é bem simples:
g3 = y3 - y217 - 14 = y3 - y23
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são os pontos interiores. A fórmula é um pouco mais complexa:
onde:
Vamos calcular para e para .

Passo 4

Para alpha1 = (x2 - x1)(x1 - x0)(x2 - x0) = (14 - 10)(10 - 5)(14 - 5) = 4 times 5 times 9 = 180 :
g1 = -(14 - 10)^2180 y0 + (14 - 10)^2 - (10 - 5)^2180 y1 + (10 - 5)^2180 y2 = -16180 y0 + 16 - 25180 y1 + 25180 y2 = -235 y0 - 110 y1 + 536 y2
Agora, substituindo na fórmula de :

Passo 5

Para alpha2 = (x3 - x2)(x2 - x1)(x3 - x1) = (17 - 14)(14 - 10)(17 - 10) = 3 times 4 times 7 = 84 :
g2 = -(17 - 14)^284 y1 + (17 - 14)^2 - (14 - 10)^284 y2 + (14 - 10)^284 y3 = -984 y1 + 9 - 1684 y2 + 1684 y3 = -328 y1 - 784 y2 + 421 y3
Substituindo na fórmula de :

Passo 6

Agora, vamos organizar tudo em forma de matriz. Temos as equações:
g0 = -15 y0 + 15 y1 + 0 y2 + 0 y3
g1 = -235 y0 - 110 y1 + 536 y2 + 0 y3
g2 = 0 y0 - 328 y1 - 784 y2 + 421 y3
g3 = 0 y0 + 0 y1 - 13 y2 + 13 y3
Colocando os coeficientes numa matriz, temos:

Resposta

[rrrr -15 & 15 & 0 & 0 -235 & -110 & 536 & 0 0 & -328 & -784 & 421 0 & 0 & -13 & 13 ]

Exercícios relacionados