Dados valores amostrais de uma funçào , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformaçâo linear que leva os valores da função nos valores da aproximaçāo da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximaçāo da derivada 6 a inclinaçāo da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pontos e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos ( e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação sâo, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
(A)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida no intervalo com alguns pontos específicos: , , e . A gente sabe os valores de nesses pontos, ou seja, e . A tarefa é encontrar uma matriz que transforme esses valores nos valores aproximados das derivadas nesses mesmos pontos. Vamos precisar entender como calcular essas derivadas aproximadas usando as fórmulas dadas para pontos extremos e interiores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular g0 = y1 - y0x1 - x0 e g3 = y3 - y2x3 - x2 e g0 = y1 - y010 - 5 = y1 - y05 , que são os pontos extremos. A fórmula pra esses pontos é bem simples:
g3 = y3 - y217 - 14 = y3 - y23
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são os pontos interiores. A fórmula é um pouco mais complexa:
onde:
Vamos calcular para e para .
Passo 4
Para alpha1 = (x2 - x1)(x1 - x0)(x2 - x0) = (14 - 10)(10 - 5)(14 - 5) = 4 times 5 times 9 = 180 :