Dados os vetores u, v, w, z in mathscrE3 e constantes reais a e b, mostre que:
(u-v) cdot(u+v)=|u|^2-|v|^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que, dados vetores (vec u - vec v)cdot(vec u + vec v);=;|vec u|^2 - |vec v|^2 em , vale a conta
O conteúdo aqui é produto escalar e norma de vetor. Pra resolver, vamos precisar:
  1. da propriedade distributiva do produto escalar;
  2. da comutatividade ;
  3. da definição de norma ao quadrado: .

Passo 2

Vamos partir do lado esquerdo e usar a distributividade:
(vec u - vec v)cdot(vec u + vec v) = vec ucdotvec u ;+;vec ucdotvec v;-;vec vcdotvec u;-;vec vcdotvec v
Agora, aproveitamos que vec ucdotvec v ;-;vec vcdotvec u = 0 . Então os dois termos do meio se cancelam:
vec ucdotvec u ;-;vec vcdotvec v
Ficamos só com
Por fim, pela definição de norma, e .

Resposta

(vec u - vec v)cdot(vec u + vec v) = |vec u|^2 - |vec v|^2

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