Dados os vetores e constantes reais e , mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos provar a identidade
(vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z);=;vec ucdotvec w&vec ucdotvec zvec vcdotvec w&vec vcdotvec z
Estamos em mathscr E3, usando produto escalar e vetorial. Pra resolver, a gente vai precisar de duas coisas da teoria:
1) A propriedade cíclica do produto escalar triplo:
\quad acdot(btimes c)=bcdot(ctimes a)=ccdot(atimes b).
2) A identidade vetorial “bac–cab” (produto vetorial triplo):
\quad btimes(ctimes d)=c,(bcdot d);-;d,(bcdot c).
Passo 2
Primeiro, use a propriedade cíclica do produto escalar triplo para trocar a ordem:
$$(\vec u\times\vec v)\cdot(\vec w\times\vec z)
=\vec u\cdot\bigl(\vec v\times(\vec w\times\vec z)\bigr).$$
Aqui tratamos (vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z) =vec ucdotl(vec vtimes(vec wtimesvec z)r) como (vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z) com acdot(btimes c), a=vec u, b=vec v.
Passo 3
Agora aplicamos a identidade bac–cab em vec vtimes(vec wtimesvec z):