Dados os vetores u, v, w, z in mathscrE3 e constantes reais a e b, mostre que:
(u times v) cdot(w times z)=|llu cdot w & u cdot z v cdot w & v cdot z|

Passo 1

Beleza, vamos provar a identidade
(vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z);=;vec ucdotvec w&vec ucdotvec zvec vcdotvec w&vec vcdotvec z
Estamos em mathscr E3, usando produto escalar e vetorial. Pra resolver, a gente vai precisar de duas coisas da teoria:
1) A propriedade cíclica do produto escalar triplo:
\quad acdot(btimes c)=bcdot(ctimes a)=ccdot(atimes b).
2) A identidade vetorial “bac–cab” (produto vetorial triplo):
\quad btimes(ctimes d)=c,(bcdot d);-;d,(bcdot c).

Passo 2

Primeiro, use a propriedade cíclica do produto escalar triplo para trocar a ordem:
$$(\vec u\times\vec v)\cdot(\vec w\times\vec z)
=\vec u\cdot\bigl(\vec v\times(\vec w\times\vec z)\bigr).$$
Aqui tratamos (vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z) =vec ucdotl(vec vtimes(vec wtimesvec z)r) como
(vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z) com acdot(btimes c), a=vec u, b=vec v.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade bac–cab em vec vtimes(vec wtimesvec z):
$$\vec v\times(\vec w\times\vec z)
=\vec w,(\vec v\cdot\vec z);-;\vec z,(\vec v\cdot\vec w). vec vtimes(vec wtimesvec z) =vec w,(vec vcdotvec z);-;vec z,(vec vcdotvec w)b\times(c\times d)=c,(b\cdot d)-d,(b\cdot c)$$
com btimes(ctimes d)=c,(bcdot d)-d,(bcdot c), b=vec v, c=vec w.

Passo 4

Substituindo no passo anterior:
(vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z) =vec ucdotl[vec w,(vec vcdotvec z)-vec z,(vec vcdotvec w)r]
e usando distributividade do escalar:
= (vec vcdotvec z),(vec ucdotvec w);-;(vec vcdotvec w),(vec ucdotvec z)
Esse resultado é exatamente o determinante
vec ucdotvec w & vec ucdotvec z vec vcdotvec w & vec vcdotvec z =(vec ucdotvec w)(vec vcdotvec z) -(vec ucdotvec z)(vec vcdotvec w)

Resposta

Portanto,
(vec utimesvec v)cdot(vec wtimesvec z) = vec ucdotvec w & vec ucdotvec z vec vcdotvec w & vec vcdotvec z

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