Utilize o método de eliminação gaussiana nos exercícios abaixo:
Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado pelos conjuntos:
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Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado pelos conjuntos:
Passo 1
O enunciado pede: “Dado o conjunto de vetores
use eliminação gaussiana para achar uma base do subespaço que eles geram.”
Conteúdo: espaço vetorial, combinação linear, eliminação de Gauss.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e, usando pivôs e operações linha, achar uma forma escalonada. As linhas não nulas no fim viram base do subespaço gerado.
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz cujas linhas são os vetores dados:
Na eliminação gaussiana a gente escolhe o elemento (1,1) como pivô e zera abaixo:
- Linha 2 ← Linha 2 − 3·Linha 1
- Linha 3 ← Linha 3 − 2·Linha 1
Fica
Passo 3
Agora usamos o pivô na posição (2,2), que é −2, para zerar abaixo:
- Linha 3 ← Linha 3 − (,\tfrac{3}{2},),Linha 2
Isso gera
Aqui a terceira linha ficou toda zero, indicando dependência linear e rank = 2.
Passo 4
Para deixar “bonitinho” em forma reduzida, a gente normaliza e zera acima dos pivôs:
- Divide Linha 2 por −2:
- Zera a coluna 2 da Linha 1: Linha 1 ← Linha 1 − 2·Linha 2
Pronto: forma reduzida por linhas (RREF).
Resposta
As duas primeiras linhas não nulas da forma escalonada formam uma base do subespaço. Logo, uma base é