Utilize o método de eliminação gaussiana nos exercícios abaixo:
Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado pelos conjuntos:
(1,2,3,4),(3,4,7,10),(2,1,3,5).

Passo 1

O enunciado pede: “Dado o conjunto de vetores
(1,2,3,4),,(3,4,7,10),,(2,1,3,5)subsetR^4,
use eliminação gaussiana para achar uma base do subespaço que eles geram.”
Conteúdo: espaço vetorial, combinação linear, eliminação de Gauss.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e, usando pivôs e operações linha, achar uma forma escalonada. As linhas não nulas no fim viram base do subespaço gerado.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz cujas linhas são os vetores dados:
1 & 2 & 3 & 4 3 & 4 & 7 & 10 2 & 1 & 3 & 5
Na eliminação gaussiana a gente escolhe o elemento (1,1) como pivô e zera abaixo:
  • Linha 2 ← Linha 2 − 3·Linha 1
  • Linha 3 ← Linha 3 − 2·Linha 1
Fica
1 & 2 & 3 & 4 0 & -2 & -2 & -2 0 & -3 & -3 & -3

Passo 3

Agora usamos o pivô na posição (2,2), que é −2, para zerar abaixo:
  • Linha 3 ← Linha 3 − (,\tfrac{3}{2},),Linha 2
Isso gera
1 & 2 & 3 & 4 0 & -2 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & 0
Aqui a terceira linha ficou toda zero, indicando dependência linear e rank = 2.

Passo 4

Para deixar “bonitinho” em forma reduzida, a gente normaliza e zera acima dos pivôs:
  1. Divide Linha 2 por −2:
1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0
  1. Zera a coluna 2 da Linha 1: Linha 1 ← Linha 1 − 2·Linha 2
1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Pronto: forma reduzida por linhas (RREF).

Resposta

As duas primeiras linhas não nulas da forma escalonada formam uma base do subespaço. Logo, uma base é
(1,0,1,2),,(0,1,1,1)

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