Utilize o método de eliminação gaussiana nos exercícios abaixo:
Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado pelos conjuntos:
(1,3,5),(-1,3,-1),(1,21,1).

Passo 1

Beleza, o problema pede: “A gente tem três vetores em ℝ³
v1 = (1,3,5), v2 = (-1,3,-1), v3 = (1,21,1)
e quer achar uma base para o subespaço que eles geram.”
Conteúdo envolvido: combinação linear, independência e base de vetores, e vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas de matriz).

Passo 2

Primeiro, colocamos esses vetores como colunas de uma matriz 3×3:
A = 1 & -1 & 1 3 & 3 & 21 5 & -1 & 1
A ideia é escalonar e ver em que colunas aparecem pivôs; as colunas-pivô indicarão quais vetores originais são independentes.

Passo 3

Aplicando as operações de linha:
  1. Zerar embaixo de R2 R2 - 3,R1, R3 R3 - 5,R1 :
1 & -1 & 1 3 & 3 & 21 5 & -1 & 1 ;longrightarrow; 1 & -1 & 1 0 & 6 & 18 0 & 4 & -4
R2 tfrac16R2 Longrightarrow 1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 4 & -4
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1:
R3 R3 - 4,R2, R1 R1 + 1,R2
  1. Zerar os outros elementos da coluna 2:
1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 4 & -4 ;longrightarrow; 1 & 0 & 4 0 & 1 & 3 0 & 0 & -16
R3 -tfrac116R3 Longrightarrow 1 & 0 & 4 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
  1. Finalmente, normalizar o pivô da terceira linha:
R1 R1 - 4,R3, R2 R2 - 3,R3 ;longrightarrow; 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
E dar zeros acima dele:

Passo 4

A forma escalonada reduziu-faz mostra pivô em todas as 3 colunas. Isso significa que as 3 colunas originais são linearmente independentes. Logo, nenhum vetor é combinação dos outros e todos entram na base.

Resposta

Uma base para o subespaço gerado é
(1,3,5),;(-1,3,-1),;(1,21,1)

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