Utilize o método de eliminação gaussiana nos exercícios abaixo:
Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado pelos conjuntos:
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Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado pelos conjuntos:
Passo 1
Beleza, o problema pede: “A gente tem três vetores em ℝ³
e quer achar uma base para o subespaço que eles geram.”
Conteúdo envolvido: combinação linear, independência e base de vetores, e vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas de matriz).
Conteúdo envolvido: combinação linear, independência e base de vetores, e vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas de matriz).
Passo 2
Primeiro, colocamos esses vetores como colunas de uma matriz 3×3:
A ideia é escalonar e ver em que colunas aparecem pivôs; as colunas-pivô indicarão quais vetores originais são independentes.
Passo 3
Aplicando as operações de linha:
- Zerar embaixo de
:R2 R2 - 3,R1, R3 R3 - 5,R1
- Tornar o pivô da segunda linha igual a 1:
- Zerar os outros elementos da coluna 2:
- Finalmente, normalizar o pivô da terceira linha:
E dar zeros acima dele:
Passo 4
A forma escalonada reduziu-faz mostra pivô em todas as 3 colunas. Isso significa que as 3 colunas originais são linearmente independentes. Logo, nenhum vetor é combinação dos outros e todos entram na base.
Resposta
Uma base para o subespaço gerado é