Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
x f(x)
0,1 5
0,2 13
0,3 -4
0,4 -8
Pelo polinômio de Newton

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de interpolação usando o Polinômio de Newton. Você tem uma tabela com alguns pontos (x, f(x)) e precisa encontrar um polinômio que passe exatamente por esses pontos. Para isso, vamos precisar entender como construir o Polinômio de Newton e calcular as diferenças divididas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
x     f(x)
0,1     5
0,2    13
0,3    -4
0,4    -8

Passo 3

O próximo passo é calcular as diferenças divididas. Isso ajuda a construir o Polinômio de Newton de forma eficiente. Vamos montar uma tabela para facilitar:
x     f[x0]    f[x0,x1]    f[x0,x1,x2]    f[x0,x1,x2,x3]
0,1     5
          (13-5)/(0,2-0,1) = 80
                 (-4-13)/(0,3-0,1) = -85
                        (-8-(-4))/(0,4-0,1) = -13
Aqui, cada coluna após f[x0] representa uma ordem de diferença dividida. Por exemplo, f[x0,x1] é a primeira diferença dividida entre o primeiro e o segundo ponto.

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o Polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + dots
Vamos substituir os valores que encontramos:
P(x) = 5 + 80(x - 0,1) - 85(x - 0,1)(x - 0,2) - 13(x - 0,1)(x - 0,2)(x - 0,3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar o polinômio se quiser, mas geralmente deixamos nessas condições para facilitar a avaliação em diferentes pontos. Portanto, nosso Polinômio de Newton é:
P(x) = 5 + 80(x - 0,1) - 85(x - 0,1)(x - 0,2) - 13(x - 0,1)(x - 0,2)(x - 0,3)

Resposta

O polinômio interpolador pelo método de Newton é:
P(x) = 5 + 80(x - 0,1) - 85(x - 0,1)(x - 0,2) - 13(x - 0,1)(x - 0,2)(x - 0,3)

Exercícios relacionados