Determine qual o melhor grau do polinomio interpolador que aproxima f(x) tabelada abaixo e em seguida determine o polinômio.
c|c $x$ & $f(x)$ hline-1 & 5 0 & 13 2 & -4 5 & -8 7 & -11 8 & -20
-1 5
0 13
2 -4
5 -8
7 -11
8 -20

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar qual o melhor grau para o polinômio interpolador que aproxima a função $ f(x) $ com os valores tabelados fornecidos. Além disso, vamos encontrar esse polinômio. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial e entender como escolher o grau adequado do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, ele é um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados na tabela. A regra geral é que, para $ n+1 $ pontos distintos, o polinômio interpolador de grau $ n $ é o melhor ajuste, já que não existe menor grau que passe por todos os pontos.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos pontos temos na tabela:
c|c x & f(x) hline -1 & 5 0 & 13 2 & -4 5 & -8 7 & -11 8 & -20
Temos 6 pontos no total. Então, de acordo com a regra, o polinômio interpolador que passa por esses pontos terá grau $ n = 5 $.

Passo 4

Então, o melhor grau para o polinômio interpolador é 5.

Passo 5

Agora, vamos determinar o polinômio interpolador de grau 5 que passa por esses pontos. Uma maneira de fazer isso é usando a forma de Lagrange, que facilita encontrar o polinômio sem precisar resolver um sistema de equações.
A fórmula do polinômio de Lagrange é:
P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x)
onde $ L_i(x) $ são os polinômios de Lagrange definidos por:
Li(x)

Passo 6

Vamos aplicar isso aos nossos pontos. Para cada ponto $ (x_i, f(x_i)) $, vamos construir o polinômio $ L_i(x) $ e depois somar todos multiplicados pelos respectivos $ f(x_i) $.
Por exemplo, para $ x_0 = -1 $:
(xi, f(xi))
E assim por diante para os outros pontos.

Passo 7

Depois de calcular todos os $ L_i(x) $ e multiplicá-los por $ f(x_i) $, somamos tudo para obter o polinômio $ P(x) $. Esse polinômio de grau 5 será a nossa aproximação que passa exatamente pelos pontos dados.

Resposta

O melhor grau para o polinômio interpolador é 5, e o polinômio interpolador que aproxima $ f(x) $ é dado por:
f(x)
onde cada $ L_i(x) $ é o polinômio de Lagrange correspondente a cada ponto da tabela.

Exercícios relacionados