Determine qual o melhor grau do polinomio interpolador que aproxima
tabelada abaixo e em seguida determine o polinômio.
-1
5
0
13
2
-4
5
-8
7
-11
8
-20
|
|
-1 | 5 |
0 | 13 |
2 | -4 |
5 | -8 |
7 | -11 |
8 | -20 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar qual o melhor grau para o polinômio interpolador que aproxima a função $ f(x) $ com os valores tabelados fornecidos. Além disso, vamos encontrar esse polinômio. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial e entender como escolher o grau adequado do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Basicamente, ele é um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados na tabela. A regra geral é que, para $ n+1 $ pontos distintos, o polinômio interpolador de grau $ n $ é o melhor ajuste, já que não existe menor grau que passe por todos os pontos.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos pontos temos na tabela:
Temos 6 pontos no total. Então, de acordo com a regra, o polinômio interpolador que passa por esses pontos terá grau $ n = 5 $.
Passo 4
Então, o melhor grau para o polinômio interpolador é 5.
Passo 5
Agora, vamos determinar o polinômio interpolador de grau 5 que passa por esses pontos. Uma maneira de fazer isso é usando a forma de Lagrange, que facilita encontrar o polinômio sem precisar resolver um sistema de equações.
A fórmula do polinômio de Lagrange é:
onde $ L_i(x) $ são os polinômios de Lagrange definidos por:
Passo 6
Vamos aplicar isso aos nossos pontos. Para cada ponto $ (x_i, f(x_i)) $, vamos construir o polinômio $ L_i(x) $ e depois somar todos multiplicados pelos respectivos $ f(x_i) $.
Por exemplo, para $ x_0 = -1 $:
E assim por diante para os outros pontos.
Passo 7
Depois de calcular todos os $ L_i(x) $ e multiplicá-los por $ f(x_i) $, somamos tudo para obter o polinômio $ P(x) $. Esse polinômio de grau 5 será a nossa aproximação que passa exatamente pelos pontos dados.
Resposta
O melhor grau para o polinômio interpolador é 5, e o polinômio interpolador que aproxima $ f(x) $ é dado por:
onde cada $ L_i(x) $ é o polinômio de Lagrange correspondente a cada ponto da tabela.