Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
x c|c x & $f(x)$ hline 0,1 & 5 0,2 & 13 0,3 & -4 0,4 & -8
0,1 5
0,2 13
0,3 -4
0,4 -8
Por resolução de sistemas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com quatro valores de $ x $ e $ f(x) $. O objetivo é encontrar o polinômio interpolador que passa por esses pontos usando resolução de sistemas. Para isso, vamos precisar lembrar de como montar um polinômio de grau três (já que temos quatro pontos) e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o polinômio que estamos buscando tem a forma:
P(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d
Aqui, $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar os quatro pontos da tabela para montar quatro equações. Substituindo cada par $ (x, f(x)) $ na forma do polinômio:
  1. Para $ x = 0,1 $ e $ f(x) = 5 $:
(x, f(x))
x = 0,1
  1. Para $ x = 0,2 $ e $ f(x) = 13 $:
f(x) = 5
a (0,1)^3 + b (0,1)^2 + c (0,1) + d = 5
  1. Para $ x = 0,3 $ e $ f(x) = -4 $:
0,001a + 0,01b + 0,1c + d = 5
x = 0,2
  1. Para $ x = 0,4 $ e $ f(x) = -8 $:
f(x) = 13
a (0,2)^3 + b (0,2)^2 + c (0,2) + d = 13

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
0,001a + 0,01b + 0,1c + d = 5 0,008a + 0,04b + 0,2c + d = 13 0,027a + 0,09b + 0,3c + d = -4 0,064a + 0,16b + 0,4c + d = -8
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $.

Passo 5

Para facilitar, podemos subtrair a primeira equação das demais para eliminar $ d $:
Subtraindo a 1ª equação da 2ª:
d
(0,008a - 0,001a) + (0,04b - 0,01b) + (0,2c - 0,1c) = 13 - 5
Subtraindo a 1ª equação da 3ª:
0,007a + 0,03b + 0,1c = 8
Subtraindo a 1ª equação da 4ª:
0,026a + 0,08b + 0,2c = -9
Agora, temos um novo sistema de três equações:
0,063a + 0,15b + 0,3c = -13

Passo 6

Vamos simplificar as equações multiplicando para eliminar as casas decimais:
Multiplicando a 1ª equação por 1000:
7a + 30b + 100c = 8000
Multiplicando a 2ª equação por 1000:
26a + 80b + 200c = -9000
Multiplicando a 3ª equação por 1000:
63a + 150b + 300c = -13000
Agora, o sistema fica:
7a + 30b + 100c = 8000 26a + 80b + 200c = -9000 63a + 150b + 300c = -13000

Passo 7

Vamos agora resolver esse sistema. Podemos usar o método de eliminação. Primeiro, podemos eliminar $ a $ entre a 1ª e a 2ª equação.
Multiplicando a 1ª equação por 26:
a
Multiplicando a 2ª equação por 7:
182a + 780b + 2600c = 208000
Subtraindo as duas:
182a + 560b + 1400c = -63000
(780b - 560b) + (2600c - 1400c) = 208000 - (-63000)
220b + 1200c = 271000

Passo 8

Agora, vamos eliminar $ a $ entre a 1ª e a 3ª equação do sistema original.
Multiplicando a 1ª equação por 63:
a
Multiplicando a 3ª equação por 7:
441a + 1890b + 6300c = 504000
Subtraindo as duas:
441a + 1050b + 2100c = -91000
(1890b - 1050b) + (6300c - 2100c) = 504000 - (-91000)
$$
2b + 10c = 1420 \quad (dividindo tudo por 420)
$$

Passo 9

Agora, temos o seguinte sistema com $ b $ e $ c $:
b
Vamos resolver. Podemos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação:
c
Agora, subtraindo essa da primeira linha:
11b + 60c = 13550 2b + 10c = 1420
10b + 50c = 7100

Passo 10

Agora, vamos resolver $ b + 10c = 6450 $ para $ b $:
b + 10c = 6450
Substituindo na segunda equação simplificada:
b
b = 6450 - 10c
2(6450 - 10c) + 10c = 1420
12900 - 20c + 10c = 1420
-10c = 1420 - 12900

Passo 11

Agora que temos $ c = 1148 $, vamos encontrar $ b $:
c = 1148

Passo 12

Com $ b = -5030 $ e $ c = 1148 $, vamos voltar para a primeira equação simplificada para encontrar $ a $:
b = -5030
c = 1148
a
7a + 30(-5030) + 100(1148) = 8000
7a - 150900 + 114800 = 8000
7a - 36100 = 8000

Passo 13

Agora, temos $ a = 6300 $, $ b = -5030 $, $ c = 1148 $. Vamos encontrar $ d $ usando a primeira equação original:
a = 6300
b = -5030
c = 1148
d
0,001(6300) + 0,01(-5030) + 0,1(1148) + d = 5

Resposta

O polinômio interpolador é:
P(x) = 6300,x^3 - 5030,x^2 + 1148,x - 65,8

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