Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
x
0,1
5
0,2
13
0,3
-4
0,4
-8
Por resolução de sistemas
x |
|
0,1 | 5 |
0,2 | 13 |
0,3 | -4 |
0,4 | -8 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com quatro valores de $ x $ e $ f(x) $. O objetivo é encontrar o polinômio interpolador que passa por esses pontos usando resolução de sistemas. Para isso, vamos precisar lembrar de como montar um polinômio de grau três (já que temos quatro pontos) e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes desse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que o polinômio que estamos buscando tem a forma:
Aqui, $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar os quatro pontos da tabela para montar quatro equações. Substituindo cada par $ (x, f(x)) $ na forma do polinômio:
- Para $ x = 0,1 $ e $ f(x) = 5 $:
- Para $ x = 0,2 $ e $ f(x) = 13 $:
- Para $ x = 0,3 $ e $ f(x) = -4 $:
- Para $ x = 0,4 $ e $ f(x) = -8 $:
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $.
Passo 5
Para facilitar, podemos subtrair a primeira equação das demais para eliminar $ d $:
Subtraindo a 1ª equação da 2ª:
Subtraindo a 1ª equação da 3ª:
Subtraindo a 1ª equação da 4ª:
Agora, temos um novo sistema de três equações:
Passo 6
Vamos simplificar as equações multiplicando para eliminar as casas decimais:
Multiplicando a 1ª equação por 1000:
Multiplicando a 2ª equação por 1000:
Multiplicando a 3ª equação por 1000:
Agora, o sistema fica:
Passo 7
Vamos agora resolver esse sistema. Podemos usar o método de eliminação. Primeiro, podemos eliminar $ a $ entre a 1ª e a 2ª equação.
Multiplicando a 1ª equação por 26:
Multiplicando a 2ª equação por 7:
Subtraindo as duas:
Passo 8
Agora, vamos eliminar $ a $ entre a 1ª e a 3ª equação do sistema original.
Multiplicando a 1ª equação por 63:
Multiplicando a 3ª equação por 7:
Subtraindo as duas:
$$
2b + 10c = 1420 \quad (dividindo tudo por 420)
2b + 10c = 1420 \quad (dividindo tudo por 420)
$$
Passo 9
Agora, temos o seguinte sistema com $ b $ e $ c $:
Vamos resolver. Podemos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraindo essa da primeira linha:
Passo 10
Agora, vamos resolver $ b + 10c = 6450 $ para $ b $:
Substituindo na segunda equação simplificada:
Passo 11
Agora que temos $ c = 1148 $, vamos encontrar $ b $:
Passo 12
Com $ b = -5030 $ e $ c = 1148 $, vamos voltar para a primeira equação simplificada para encontrar $ a $:
Passo 13
Agora, temos $ a = 6300 $, $ b = -5030 $, $ c = 1148 $. Vamos encontrar $ d $ usando a primeira equação original:
Resposta
O polinômio interpolador é: