Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
x
0,1
5
0,2
13
0,3
-4
0,4
-8
Pelo polinômio de Lagrange
x |
|
0,1 | 5 |
0,2 | 13 |
0,3 | -4 |
0,4 | -8 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela com alguns valores de $ x $ e $ f(x) $. A ideia é encontrar um polinômio que passe exatamente por esses pontos usando o método de Lagrange. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, que ajuda a construir funções que passam por pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do polinômio de Lagrange e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. Se tivermos $ n $ pontos, o polinômio $ P(x) $ é dado por:
onde cada $ L_i(x) $ é o polinômio base de Lagrange definido por:
Isso significa que para cada ponto, construímos um polinômio $ L_i(x) $ que é 1 no ponto $ x_i $ e 0 nos outros pontos $ x_j $. Depois, multiplicamos cada $ L_i(x) $ pelo valor correspondente $ f(x_i) $ e somamos tudo para obter $ P(x) $.
Passo 3
Vamos identificar os nossos pontos:
Como temos 4 pontos, nosso polinômio de Lagrange será de grau 3.
Passo 4
Agora, vamos construir cada polinômio base $ L_i(x) $:
Para $ L_0(x) $:
Calculando o denominador:
Então,
Fazemos o mesmo para os outros $ L_i(x) $:
Para $ L_1(x) $:
Para $ L_2(x) $:
Para $ L_3(x) $:
Passo 5
Agora que temos todos os $ L_i(x) $, vamos construir o polinômio $ P(x) $:
Substituindo os valores:
Agora, basta substituir os $ L_i(x) $ que já calculamos:
Agora, podemos simplificar cada termo:
Simplificando os coeficientes:
Para obter o polinômio final, precisaríamos expandir e simplificar todos esses termos, o que pode ser bastante trabalhoso. Porém, essa é a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos fornecidos.
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
Esse é o polinômio de Lagrange que interpola os pontos fornecidos na tabela.