Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
x c|c x & $f(x)$ hline 0,1 & 5 0,2 & 13 0,3 & -4 0,4 & -8
0,1 5
0,2 13
0,3 -4
0,4 -8
Pelo polinômio de Lagrange

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela com alguns valores de $ x $ e $ f(x) $. A ideia é encontrar um polinômio que passe exatamente por esses pontos usando o método de Lagrange. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, que ajuda a construir funções que passam por pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do polinômio de Lagrange e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. Se tivermos $ n $ pontos, o polinômio $ P(x) $ é dado por:
n
onde cada $ L_i(x) $ é o polinômio base de Lagrange definido por:
P(x)
Isso significa que para cada ponto, construímos um polinômio $ L_i(x) $ que é 1 no ponto $ x_i $ e 0 nos outros pontos $ x_j $. Depois, multiplicamos cada $ L_i(x) $ pelo valor correspondente $ f(x_i) $ e somamos tudo para obter $ P(x) $.

Passo 3

Vamos identificar os nossos pontos:
(x0, f(x0)) = (0.1, 5) (x1, f(x1)) = (0.2, 13) (x2, f(x2)) = (0.3, -4) (x3, f(x3)) = (0.4, -8)
Como temos 4 pontos, nosso polinômio de Lagrange será de grau 3.

Passo 4

Agora, vamos construir cada polinômio base $ L_i(x) $:
Para $ L_0(x) $:
Li(x)
Calculando o denominador:
L0(x)
Então,
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) = (x - 0.2)(x - 0.3)(x - 0.4)(0.1 - 0.2)(0.1 - 0.3)(0.1 - 0.4)
Fazemos o mesmo para os outros $ L_i(x) $:
Para $ L_1(x) $:
(0.1 - 0.2)(0.1 - 0.3)(0.1 - 0.4) = (-0.1)(-0.2)(-0.3) = -0.006
Para $ L_2(x) $:
L0(x) = (x - 0.2)(x - 0.3)(x - 0.4)-0.006
Para $ L_3(x) $:
Li(x)

Passo 5

Agora que temos todos os $ L_i(x) $, vamos construir o polinômio $ P(x) $:
Li(x)
Substituindo os valores:
P(x)
Agora, basta substituir os $ L_i(x) $ que já calculamos:
P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x)
Agora, podemos simplificar cada termo:
P(x) = 5L0(x) + 13L1(x) + (-4)L2(x) + (-8)L3(x)
Simplificando os coeficientes:
Li(x)
Para obter o polinômio final, precisaríamos expandir e simplificar todos esses termos, o que pode ser bastante trabalhoso. Porém, essa é a forma geral do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos fornecidos.

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
P(x) = 5(x - 0.2)(x - 0.3)(x - 0.4)-0.006 + 13(x - 0.1)(x - 0.3)(x - 0.4)0.002 + -4(x - 0.1)(x - 0.2)(x - 0.4)-0.002 + -8(x - 0.1)(x - 0.2)(x - 0.3)0.006
Esse é o polinômio de Lagrange que interpola os pontos fornecidos na tabela.

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