Data a tabela abaixo calcule os valores dos polinomios interpoladores pelos métodos que se pedem:
x
0,1
5
0,2
13
0,3
-4
0,4
-8
Pelo polinômio de Gregory-Newton
x |
|
0,1 | 5 |
0,2 | 13 |
0,3 | -4 |
0,4 | -8 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns pontos
(x, f(x))
e precisamos encontrar o polinômio interpolador usando o método de Gregory-Newton. Esse método faz parte do conteúdo de Interpolação Polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Para resolver, vamos precisar organizar os dados em uma tabela de diferenças divididas e, em seguida, construir o polinômio passo a passo.Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
$$
x | f(x) |
0,1 | 5 |
0,2 | 13 |
0,3 | -4 |
0,4 | -8 |
$$
Notamos que os valores de $ x $ estão igualmente espaçados, com um intervalo $ h = 0,1 $. Isso é importante porque facilita o uso da fórmula de Gregory-Newton para interpolação.
Passo 3
Agora, vamos montar uma tabela de diferenças divididas. Começamos com os valores de $ f(x) $ e vamos calcular as diferenças sucessivas entre eles.
Aqui, $ \Delta f(x) $ é a primeira diferença, $ \Delta^2 f(x) $ a segunda e $ \Delta^3 f(x) $ a terceira diferença.
Passo 4
Com as diferenças calculadas, agora vamos usar a fórmula do polinômio de Gregory-Newton. A fórmula geral para $ n $ pontos é:
Como temos 4 pontos, o polinômio será de grau 3.
Passo 5
Vamos substituir os valores que calculamos na tabela:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
-
Primeiro termo: $ 5 $
-
Segundo termo: $ 8(x - 0,1) $
-
Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 7
Então, juntando tudo:
Esse é o polinômio interpolador de Gregory-Newton para os pontos dados.
Resposta
O polinômio interpolador de Gregory-Newton para os dados fornecidos é: