[Teórico] Verifique se a matriz dos coeficientes do sistema
é estritamente diagonalmente dominante. Em seguida, calcule o raio expectral da matriz do Método de Jacobi (T=D^-1(L+U)). Podemos garantir convergência para este método neste sistema?
é estritamente diagonalmente dominante.
2) Calcular o raio espectral da matriz de iteração do Método de Jacobi
T = D^-1(L+U)
e decidir se isso garante convergência.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear (matrizes, dominância diagonal, autovalores). A gente vai precisar do conceito de dominância e de como achar autovalores (ou pelo menos o raio espectral).
Passo 2
Primeiro, monta a matriz de coeficientes A = 1 & 0 & -1 -0.5 & 1 & -0.25 1 & -0.5 & 1 :
|aii| > sumjneq i |aij|
Definição: uma matriz é estritamente diagonalmente dominante se, em cada linha ,
Vamos conferir linha a linha:
Linha 1: e soma dos outros .
Como (não é “>”), não é estrita.
Linha 2: e soma .
Aqui , ok.
Linha 3: e soma .
Aqui , falha também.
Logo, não há dominância estrita.
Passo 3
Agora vamos à matriz de iteração do Jacobi. Se escrevemos D = 1&0&00&1&00&0&1, L+U = 0 & 0 & -1 -0.5 & 0 & -0.25 1 & -0.5 & 0 , com T = D^-1(L+U) = 0 & 0 & -1 -0.5 & 0 & -0.25 1 & -0.5 & 0 a diagonal de e as partes estritamente inferior e superior, então
Como (tudo 1 na diagonal), temos
Passo 4
O raio espectral det(T - lambda I) = lambda^3 + 0.875,lambda + 0.25 = 0 é o máximo dos módulos dos autovalores de rho(T) = max|lambda1|,|lambda2|,|lambda3| approx 0.9722 . Calcular exatamente exige achar o polinômio característico
Dessa equação, ao aproximar numericamente, obtemos um autovalor real e dois complexos conjugados com .
Portanto
Passo 5
Critério de convergência do Jacobi: o método converge se e só se . Aqui , então mesmo sem dominância estrita, o Jacobi vai convergir.
Resposta
• A matriz de coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante.
• O raio espectral da matriz de iteração é .
• Como , o Método de Jacobi converge para esse sistema.