Utilizando o polinômio de Gregory-Newton, determine pn(115) a partir da tabela
c|c $x$ & $f(x)$ hline 110 & 2,041 120 & 2,079 130 & 2,114
110 2,041
120 2,079
130 2,114

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o polinômio de Gregory-Newton para determinar $ p_{n}(115) $ a partir da tabela fornecida. O conteúdo aqui envolve Interpolação Polinomial, especificamente o método de Gregory-Newton. Para resolver isso, a gente vai precisar organizar os dados em uma tabela de diferenças divididas e então construir o polinômio que estima o valor de $ f(115) $.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
$$
$ x $ $ f(x) $
110 2,041
120 2,079
130 2,114
$$
Como queremos encontrar $ f(115) $, que está entre $ x = 110 $ e $ x = 120 $, vamos usar o polinômio de Gregory-Newton para interpolação.

Passo 3

O polinômio de Gregory-Newton é uma forma de interpolação baseada nas diferenças divididas. A fórmula geral é:
pn(x) = f(x0) + De
Onde $ \Delta $ representa as diferenças divididas.

Passo 4

Vamos calcular as diferenças divididas com os nossos pontos. Primeiro, listamos os valores de $ x $ e $ f(x) $:
x
Calculamos a primeira diferença dividida $ \Delta f $:
f(x)
E para a segunda diferença dividida $ \Delta^2 f $:
c|c x & f(x) hline 110 & 2,041 120 & 2,079 130 & 2,114

Passo 5

Agora, montamos o polinômio até a segunda diferença:
p2(x) = f(x0) + De
Substituindo os valores que calculamos:
p2(x) = 2,041 + 0,0038(x - 110) + 0(x - 110)(x - 120)
Como a segunda diferença é zero, o polinômio simplifica para:
p2(x) = 2,041 + 0,0038(x - 110)

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x = 115 $ na equação do polinômio:
x = 115
Calculando:
p2(115) = 2,041 + 0,0038(115 - 110) = 2,041 + 0,0038 times 5

Resposta

Portanto, utilizando o polinômio de Gregory-Newton, o valor aproximado de $ p_{n}(115) $ é 2,060.

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