Utilizando o polinômio de Gregory-Newton, determine
a partir da tabela
110
2,041
120
2,079
130
2,114
|
|
110 | 2,041 |
120 | 2,079 |
130 | 2,114 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o polinômio de Gregory-Newton para determinar $ p_{n}(115) $ a partir da tabela fornecida. O conteúdo aqui envolve Interpolação Polinomial, especificamente o método de Gregory-Newton. Para resolver isso, a gente vai precisar organizar os dados em uma tabela de diferenças divididas e então construir o polinômio que estima o valor de $ f(115) $.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
$$
$ x $ | $ f(x) $ |
110 | 2,041 |
120 | 2,079 |
130 | 2,114 |
$$
Como queremos encontrar $ f(115) $, que está entre $ x = 110 $ e $ x = 120 $, vamos usar o polinômio de Gregory-Newton para interpolação.
Passo 3
O polinômio de Gregory-Newton é uma forma de interpolação baseada nas diferenças divididas. A fórmula geral é:
Onde $ \Delta $ representa as diferenças divididas.
Passo 4
Vamos calcular as diferenças divididas com os nossos pontos. Primeiro, listamos os valores de $ x $ e $ f(x) $:
Calculamos a primeira diferença dividida $ \Delta f $:
E para a segunda diferença dividida $ \Delta^2 f $:
Passo 5
Agora, montamos o polinômio até a segunda diferença:
Substituindo os valores que calculamos:
Como a segunda diferença é zero, o polinômio simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x = 115 $ na equação do polinômio:
Calculando:
Resposta
Portanto, utilizando o polinômio de Gregory-Newton, o valor aproximado de $ p_{n}(115) $ é 2,060.